高中文科数学常用公式定理

高中文科数学常用公式定理

高中文科数学常用公式定理 ‎1. 元素与集合的关系 ‎,.‎ ‎2.包含关系 ‎3．集合A中有n个元素，则集合A的所有不同子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.‎ ‎4. 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是 二次函数的解析式的三种形式:‎ ‎(1)一般式;‎ ‎(2)顶点式;‎ ‎(3)零点式.‎ ‎5.解连续不等式常有以下转化形式：‎ ‎6. 方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.‎ 零点存在性定理:‎ 函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点. 即存在，使得，这个c也就是方程的根.‎ ‎7.闭区间上的二次函数的最值 ‎ ‎ 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得.‎ ‎8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：‎ 真值表 ： ‎ ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 ‎ 9. 命题中常见结论的否定形式：‎ 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有（）个 小于 不小于 至多有个 至少有（）个 对所有，‎ 成立 存在某，‎ 不成立 或 且 对任何，‎ 不成立 存在某，‎ 成立 且 或 ‎10.四种命题的相互关系 原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题 若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ ‎　　　　　　　互　　　　　　　互 ‎　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互 ‎　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 ‎　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　‎ 若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ 注意：全称命题与存在命题的否定关系。‎ ‎11.充要条件：‎ ‎（1）充分条件：若，则是充分条件.‎ ‎（2）必要条件：若，则是必要条件.‎ ‎（3）充要条件：若，且，则是充要条件.‎ 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.‎ ‎12.函数的单调性 12‎ ‎(1)设那么 上是增函数；‎ 上是减函数.‎ ‎(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.‎ ‎13.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.‎ ‎14．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．‎ ‎15.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.‎ ‎16.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.‎ ‎17. 函数的图象的对称性: ①函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.‎ ‎ 18．多项式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.‎ 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.‎ ‎19.函数的图象的对称性 函数的图象关于直线对称 ‎.‎ ‎20.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.‎ ‎21.几个函数方程的周期(约定a>0)‎ ‎（1），则的周期T=a；‎ ‎（2），‎ 或，‎ 或,‎ 则的周期T=‎2a；‎ ‎22.分数指数幂 ：‎ ‎(1)（，且）.‎ ‎(2)（，且）.‎ ‎23．根式的性质：‎ ‎（1）.‎ ‎（2）当为奇数时，；‎ 当为偶数时，.‎ ‎24．有理指数幂的运算性质：‎ ‎(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎(3).‎ 注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.‎ ‎25.指数式与对数式的互化式：‎ ‎ .‎ 12‎ ‎26.对数的换底公式 ‎ ‎ (,且,,且, ).‎ 推论 (,且,,且,, ).‎ ‎35．对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 ‎(1);‎ ‎(2) ;‎ ‎(3).‎ ‎27.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.‎ ‎28. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.‎ ‎29.数列的同项公式与前n项的和的关系 ‎( 数列的前n项的和为).‎ ‎30.等差数列的通项公式 ‎；‎ 其前n项和公式为 ‎.‎ ‎31.等比数列的通项公式 ‎；‎ 其前n项的和公式为 或.‎ ‎32.若m、n、p、q∈N，且，那么：当数列是等差数列时，有；当数列是等比数列时，有。‎ ‎33. 弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；‎ 扇形面积公式：；‎ ‎34．三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tan=，符号法则:全STC.‎ ‎35.同角三角函数的基本关系式 :‎ 平方关系：，”1”的代换.商数关系:=，弦化切互化. ‎ ‎36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。‎ ‎(n为偶数)‎ ‎(n为奇数)‎ ‎(n为偶数)‎ ‎(n为奇数)‎ ‎ ‎ ‎３７.和角与差角公式：‎ ‎ ;‎ ‎;‎ 12‎ ‎.‎ ‎(平方正弦公式);‎ ‎.‎ 注意：二化一(辅助角)公式=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).‎ ‎3８.二倍角公式 ： ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 注意:半角公式是：sin= cos=‎ tan===。‎ 升幂公式是： 。‎ 降幂公式是： 。‎ ‎38. 三角函数的单调区间：‎ ‎ 的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是 ‎39.三角函数的周期公式 :‎ 函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.‎ ‎ 函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。‎ ‎40.正弦定理: .‎ ‎41.余弦定理:‎ ‎;‎ 第一形式，;第二形式，cosB=‎ ‎.‎ ‎42.面积定理：‎ ‎（1）（分别表示a、b、c边上的高）.‎ ‎（2）.‎ ‎ ③；④；‎ 12‎ ⑤；⑥‎ ‎ 43.三角形内角和定理 : ‎ 在△ABC中，有 ‎.‎ ‎△ABC 中： ， ， ‎ ‎44.平面向量运算性质：：‎ 坐标运算：设，则 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.‎ ‎45.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么 ‎(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;‎ ‎(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;‎ ‎(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.‎ 坐标表示：设，则λ， ‎ ‎46. 平面向量的数量积:‎ 定义：， .‎ 运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;‎ ‎ (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;‎ ‎(3)（a+b）·c= a ·c +b·c. ‎ ‎(4), ‎ 坐标运算:设 ,则 ‎ ‎（５） a·b的几何意义:‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．‎ ‎47.平面向量基本定理：‎ 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．‎ ‎　　其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎48．两个向量平行的充要条件 ‎ ‎ 坐标表示: ，则 ‎ 三点共线.‎ ‎49.两个非零向量垂直的充要条件 ‎ 坐标表示: ，则 ‎ ‎50.两向量的夹角公式: a=,b=则.‎ ‎51.平面两点间的距离公式: ‎ A，B则AB.‎ ‎52.线段的定比分公式 ：‎ 设，，是线段的分点, 且,是实数，则 则 。 中点坐标公式 ‎ ‎53.三角形的重心坐标公式 ：‎ ‎△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC 12‎ 的重心的坐标是. ‎ ‎54.常用不等式：‎ ‎（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ ‎（2）两个正数的平均值不等式是： (当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ ‎（3）双向绝对值不等式：‎ 左边：时取得等号。右边：时取得等号。‎ ‎55.平均值定理用来求最值：‎ 已知都是正数，则有 ‎（1）若积是定值，则当时和有最小值；‎ ‎（2）若和是定值，则当时积有最大值.‎ 推广： 已知，则有 ‎（1）若积是定值,则当最大时,最大；‎ 当最小时,最小.‎ ‎（2）若和是定值,则当最大时, 最小；‎ 当最小时, 最大.‎ ‎56.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎57.含有绝对值的不等式 ：‎ 当a> 0时，有 ‎.‎ 或.‎ ‎58.指数不等式与对数不等式 ‎ ‎(1)当时：; ‎ ‎.‎ ‎(2)当时：;‎ ‎59.斜率公式 : 直线斜率的定义为:k= tan,‎ 两点、则.‎ ‎60. 同一坐标轴上两点距离公式： ‎ ‎61.直线的五种方程 ‎ ‎（1）点斜式 : (直线过点，且斜率为)．‎ ‎（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).‎ ‎（3）两点式 ()(、 ()).‎ ‎(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)‎ ‎（5）一般式 (其中A、B不同时为0).‎ ‎62.两条直线的平行和垂直 ‎ ‎(1)若，‎ ‎①;‎ ‎②.‎ ‎(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,‎ 12‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎63．四种常用直线系方程 ‎ (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．‎ ‎(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为，其中λ是待定的系数．‎ ‎(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．‎ ‎(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．‎ ‎64.点到直线的距离 ‎ ‎(点,直线：).‎ 两平行直线距离 ‎65. 或所表示的平面区域 设直线，则或所表示的平面区域是：‎ 若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.‎ 若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.‎ ‎66. 圆的四种方程 ‎（1）圆的标准方程 .‎ ‎（2）圆的一般方程 (＞0).‎ ‎67. 圆系方程 ‎(1)过点,的圆系方程是 ‎,其中是直线的方程,λ是待定的系数．‎ ‎(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．‎ ‎(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．‎ ‎68.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.‎ ‎69.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种:‎ ‎;‎ ‎ ; 其中.‎ ‎.‎ 注意:研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：‎ ‎ ①代数法（判别式法）：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；‎ ‎ ②几何法（圆心到直线的距离与半径的大小关系）：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。‎ ‎70.两圆位置关系的判定方法:‎ 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，‎ 12‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎71. 椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是。其中。‎ ‎72.椭圆焦半径公式和.‎ ‎73．椭圆的的内外部 ‎（1）点在椭圆的内部.‎ ‎（2）点在椭圆的外部.‎ ‎74.双曲线标准方程的两种形式是：‎ 和。‎ 双曲线的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是，渐近线方程是。其中。‎ ‎75.双曲线的焦半径公式 ‎，.‎ ‎76.双曲线的内外部 ‎(1)点在双曲线的内部.‎ ‎(2)点在双曲线的外部.‎ ‎77.双曲线的方程与渐近线方程的关系 ‎(1）若双曲线方程为渐近线方程：.‎ ‎ (2)若渐近线方程为双曲线可设为.‎ ‎ (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. 与双曲线共焦点的双曲线系方程是。‎ ‎78.抛物线标准方程的四种形式是：‎ 抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：。，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长：。‎ 12‎ ‎79. 抛物线的焦半径公式: 点是抛物线上一点，则点P到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）：PF=‎ 过焦点弦长.‎ ‎80.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .‎ ‎81.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.‎ ‎82.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；‎ ‎ 若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 。‎ ‎83.圆锥曲线的两类对称问题 ‎（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.‎ ‎（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 ‎.‎ 一、有关平行的证明 ‎1、‎ 线∥线 ‎⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷‎ ‎ l1∥l‎2 l1∥α α∥β ‎ ‎ l1∥l‎3 ‎ l1∥l‎2 ‎ l1∥l2 l1∥l2‎ ‎ l2∥l3 α∩β=l2 ‎ ‎ 线∥线线∥线 线∥面线∥线 面∥面线∥线 同垂直于一个平面线∥线 ‎2、‎ 线∥面 ‎⑴ ⑵‎ ‎ α∥β ‎ a∥α a∥β ‎ a∥b ‎ ‎ 线∥线线∥面 面∥面线∥面 ‎3、‎ 面∥面 ‎⑴ ⑵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ α∥β α∥β ‎ a∥α ‎ ‎ b∥β ‎ 线∥面面∥面 同垂直于一直线面∥面 二、有关垂直的证明 ‎1、‎ 线⊥线 ‎⑴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （线⊥面线⊥线） ‎ ‎2、‎ 线⊥面 ‎ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷‎ ‎ ‎ ‎ a∥b α∥β ‎ 12‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (线⊥线线⊥面)‎ ‎3、‎ 面⊥面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （线⊥面面⊥面） ‎ ‎84．证明直线与直线的平行的思考途径 ‎（1）转化为判定共面二直线无交点；‎ ‎（2）转化为二直线同与第三条直线平行；‎ ‎（3）转化为线面平行；‎ ‎（4）转化为线面垂直；‎ ‎（5）转化为面面平行.‎ ‎85．证明直线与平面的平行的思考途径 ‎（1）转化为直线与平面无公共点；‎ ‎（2）转化为线线平行；‎ ‎（3）转化为面面平行.‎ ‎86．证明平面与平面平行的思考途径 ‎（1）转化为判定二平面无公共点；‎ ‎（2）转化为线面平行；‎ ‎（3）转化为线面垂直.‎ ‎87．证明直线与直线的垂直的思考途径 ‎（1）转化为相交垂直；‎ ‎（2）转化为线面垂直；‎ ‎88．证明直线与平面垂直的思考途径 ‎（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；‎ ‎（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；‎ ‎（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；‎ ‎（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；‎ ‎（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.‎ ‎89．证明平面与平面的垂直的思考途径 ‎（1）转化为判断二面角是直二面角；‎ ‎（2）转化为线面垂直.‎ ‎90.球的半径是R，则 其体积,‎ 其表面积．‎ ‎91.球的组合体 ‎ (1)球与长方体的组合体: ‎ 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.‎ ‎ (2)球与正方体的组合体:‎ 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.‎ ‎ (3) 球与正四面体的组合体: ‎ 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.‎ ‎92．体积公式：‎ ‎ 直棱柱：， 锥体：， 球体：。‎ ‎93. 侧面积：直棱柱侧面积：，；正棱锥侧面积：，， ‎ 球的表面积：。‎ ‎94. 比例的几个性质 比例基本性质：；反比定理：‎ 更比定理： ；合比定理；‎ 分比定理：；合分比定理：‎ 12‎ 合比定理：‎ 等比定理：若，，则。‎ ‎95.等可能性事件的概率:.‎ ‎96.互斥事件A，B分别发生的概率的和:‎ 若事件A、B为互斥事件,则P(A＋B)=P(A)＋P(B)．‎ ‎97. 若事件A、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1。一般地,‎ ‎98.方差:‎ ‎99.标准差:=.‎ ‎100.回归直线方程 : ‎ ‎，其中.‎ ‎101.相关系数: ‎ ‎ .‎ ‎|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.‎ 本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.‎ ‎102.在处的导数（或变化率或微商）‎ ‎.‎ ‎103.瞬时速度 ‎.‎ ‎104.瞬时加速度 ‎.‎ ‎105. 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.‎ ‎106.几种常见函数的导数 ‎①,（C为常数）；②③；④‎ ‎⑤；⑥；⑦；⑧.‎ ‎107.导数的运算法则 ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）.‎ ‎108. 导数的应用:‎ ① 可导函数求单调区间或判断单调性的方法:使>0的区间为增区间,使<0的区间为减区间.‎ ② 12‎ 可导函数求极值的步骤:ⅰ.求导数ⅱ.求方程=0的根 ⅲ.检验在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值.‎ ① 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值,‎ ② 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b）内可导,则求最大值、最小值的步骤与格式为：ⅰ. 求导数ⅱ.求方程=0的根 ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若()‎ x a ‎…‎ b 正负号 ‎0‎ 正负号 ‎0‎ ‎0‎ 正负号 y 值 单调性 值 单调性 值 值 单调性 值 ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.‎ ‎109.判别是极大（小）值的方法:‎ 当函数在点处连续时，‎ ‎（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；‎ ‎（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.‎ ‎110.复数的相等 ‎.（）‎ ‎111.复数的模（或绝对值）‎ ‎==.‎ ‎112.复数的四则运算法则 ‎ (1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ ‎113.复数的乘法的运算律:对于任何，有 交换律:.结合律:.‎ 分配律: .‎ 12‎