甘肃省张掖市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

甘肃省张掖市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

张掖市2018—2019学年第二学期期末考试 高二数学（理科）试卷 命题学校 民乐一中 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。) ‎ ‎1．已知集合，B={－1,1,2,3}，则A∩B=( )‎ A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{－1,1,2,3} ‎ ‎2．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．平面向量与的夹角为，，，则（ ）‎ A． B． C．0 D． 2‎ ‎4.已知x，y满足不等式组，则的最大值与最小值的比值为( )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎5.若函数为奇函数,且在上为减函数,则的一个值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.在某互联网大会上,为了提升安全级别,将名特警分配到个重要路口执勤,每个人只能选择一个路口,每个路口最少人,最多人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排方法有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎7.若曲线，在点处的切线分别为，且，则实数a的值为（ ）‎ A.-2 B.2 C. D.‎ ‎8.下面四个命题,其中为真命题的个数是( )‎ p1：命题“”的否定是“”；‎ p2:向量，则是的充分且必要条件；‎ p3：“在△ABC中，若，则”的逆否命题是“在△ABC中，若，则”； ‎ p4：若“”是假命题，则p是假命题.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎9.在等比数列{an}中，已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13． 如上图，在长方形OABC内任取一点，则点P落在阴影部分BCD内的概率为__________ ‎ ‎14．已知函数，则__ _____________． ‎ ‎15．已知，_____．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为,直线过且依次交抛物线及圆于点, 四点,则的最小值为          ‎ 三、解答题（共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. ‎ ‎（1）求∠ACB的大小；‎ ‎（2）若，点A、D在BC的异侧，，，求平面四边形ABDC的面积的最大值。‎ ‎18.（本题满分12分）在数列{an}中，，，且对任意的n∈N*，都有.‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*都有，求实数m的取值范围.‎ ‎19.（本题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”‎ 的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示 ‎(1) 求a的值 ‎(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；‎ ‎（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望.‎ ‎20．（本题满分12分）等边△ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（图1）.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B，A1C（图2）.‎ ‎（1）求证：A1D⊥平面BCED；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出线段PB的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本题满分12分）已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设不经过点A的直线l与椭圆C交于P、Q两点，且,试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.‎ ‎22．（本题满分12分）已知函数，，（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.71828…）.‎ ‎（1）当时，求函数f(x)的极值；‎ ‎（2）若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（3）若，当时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ 张掖市2018—‎ ‎2019学年第二学期期末高二年级学业水平质量检测数学（理科）答案 一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D B C D A B D B B A 二．填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.13‎ 三、解答题（共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ ‎（1）因为，且，‎ 所以……………………………………………………1分 在中，‎ 所以…………………………………………2分 所以 所以……………………………………………………3分 因为在中，‎ 所以 ……………………………………………………………4分 因为是的内角 所以.…………………………………………………………………5分 ‎（没有说明或的范围，扣1分）‎ ‎（2）在中，…………………………6分 因为是等腰直角三角形，‎ 所以 ………………………………………………………8分 所以平面四边形的面积 因为，所以所以当时，， 此时平面四边形的面积有最大值.……………10分 ‎18.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由可得． ………………2分 又，，所以.‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分 所以. …………………4分 所以. …………5分 ‎（Ⅱ）因为.………7分 所以 ‎. 9分 又因为对任意的N*都有，所以恒成立，‎ 即,即当时，. 12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 解：（1）由，得，‎ ‎（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. ‎ 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，则 ‎ ‎（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为的可能取值为0，1，2，3. ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎， ‎ ‎20．（本题满分12分）‎ ‎（1）证明：如图1，在中，，‎ 得到………………………………1分 所以，从而 …………………………2分 所以在图2中，‎ 是二面角的平面角………………………………………3分 所以，即 又因为，平面 所以平面.…………………………………………………5分 ‎（2）方法一：向量法 由（1）知，两两垂直，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………………………………………………6分 则，，，，且.…7分 假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，设，其中，‎ ‎ …………………………8分 平面的一个法向量为……………………………………9分 则 ………10分 解得…………………………………………………………………………11分 所以存在满足要求的点，且线段的长度为.………………………………12分 方法二：几何法 由（1）知平面，因为平面，‎ 所以平面平面.………………………………………………6分 假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，作于，则平面. ………………………………………………………………7分 连接，则就是直线与平面所成的角.……………………………8分 设，则，……9分 ‎……………………10分 ‎………………………11分 解得 所以存在满足要求的点，且线段的长度为.………………………………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:‎ ‎，------------------------------------------------------------------------------------1分 令得，由圆A与y轴的交点分别为、‎ 可得，解得，-------------------------------------------------------3分 故所求椭圆的方程为.----------------------------------------------------------------4分 ‎（2）解法1：由得，可知PA的斜率存在且不为0，‎ 设直线---------------① 则-------------②-----------------6分 将①代入椭圆方程并整理得，可得，‎ 则，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 类似地可得，----------------------------------------------------------9分 由直线方程的两点式可得：直线的方程为 ，-------------------------11分 即直线过定点，该定点的坐标为.-------------------------------------------------12分 ‎【解法2：若直线l垂直于x轴，则AP不垂直于AQ，不合题意，‎ 可知l的斜率存在，又l不过点(0,1)，设l的方程为，‎ 又设点，则,‎ 由得，‎ 由，消去y得，----------------------------6分 ‎，当即时，‎ ‎-------① ---------②-----------------------------------------7分 又，，--------------------------8分 于是有，-----------③---------------------9分 将①②代入③得 整理得：,--------------------------------------------------------------------------------------11分 满足，这时直线的方程为，直线过定点.------------------12分 ‎22．（本题满分12分）‎ ‎(1)，‎ 当或时，，函数在区间，上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减. ‎ 所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.‎ ‎（2），令，‎ 函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立. ‎ 当时，显然成立；‎ 当时，在上单调递增，，即，所以.‎ 当时，在上单调递减，只须，即，所以.‎ 综上，.即的取值范围为.‎ ‎（3），即，‎ 令=，‎ 因为，所以只须，‎ 令，，，‎ 因为，所以，所以，即单调递增，‎ 又，即单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，所以.‎