山东省莱州市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题

山东省莱州市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题

‎2017级高二第三次质量检测数学试题 一、选择题 ‎1.是为纯虚数的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分且不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纯虚数概念以及充要条件进行判断选择.‎ ‎【详解】因为为纯虚数的充要条件为，‎ 所以是为纯虚数的必要而不充分条件，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查纯虚数概念以及充要条件判断，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎2.下列等式中，错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.‎ 详解：通过计算得到选项A,B,D左右两边都是相等的.‎ 对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.‎ 点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.‎ ‎3.展开式中的常数项为（ ）‎ A. 120 B. ‎160 ‎C. 200 D. 240‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 展开式的通项为 ,令 ,得,所以展开式的常数项为,选B.‎ ‎4.设,且0≤＜13,若能被13整除,则( 　 )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，按二项式定理展开，根据题意可得能被13整除，再由，确定出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，‎ 故由题意可得能被13整除，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题.‎ ‎5.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A. 85 B. 56‎ C. 49 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意：，故选C.‎ 考点：排列组合.‎ ‎6.若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出四个选项中的概率,即能选出正确答案.‎ ‎【详解】解:由题意知,两个袋子中各有球12个,则 ‎,,.‎ ‎ ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算,考查了分类的思想.解题时要注意审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎7.用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为 A. 18 B. 108‎ C. 216 D. 432‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，共种方法；‎ 第二步，将2、4、6排成一排，共种方法；‎ 第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共种方法．‎ 综上共有 考点：排列组合 ‎8. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】取出的编号互不相同的概率为 ‎9.在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，则答案可求．‎ ‎【详解】的展开式的通项为．‎ 的展开式的通项为=．‎ 由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，‎ ‎∵r，s∈N，∴r=1，s=0．‎ ‎∴在的展开式中，含x5项的系数为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎10.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为．那么向量 对应的复数是（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】=‎ ‎=-‎ ‎=－（）‎ ‎==，故选D.‎ ‎11.在二项式的展开式中，存在系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数的最小值.‎ ‎【详解】解:由题意知:或者.即 或 解得, 或.当时,当时,;‎ 当时,当时,.综上所述: .‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理应用.本题的易错点是未进行分类讨论.‎ ‎12.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，‎ 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，‎ 则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×= ‎ 故选B.‎ ‎13.已知，若，则（ ）‎ A. B. C. 15 D. 35‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得，解得，把二项式化为，再利用二项展开式的通项，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，令，可得，解得，‎ 所以二项式为 所以展开式中的系数为，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.设、、为整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，，则的值可以是（ ）‎ A. 2010 B. ‎2011 ‎C. 2008 D. 2009‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中和对同余的定义,结合二项式定理,即可求出 的值,结合,比照四个选项即可得到答案.‎ ‎【详解】解: ‎ 即 .因为个位为3, 个位为9, 个位为7, 个位为1.‎ 个位为3.所以 个位为1.所以个位也是1.‎ ‎ 的个位也是1.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理.本题的难点在于不能对进行化简.本题的关键是正确理解和对同余.‎ 二、填空题 ‎15.设，，则等于________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可判断出,进而可求.‎ ‎【详解】解: ‎ ‎. .‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了条件概率.易错点是对条件概率公式不熟练,记错公式.‎ ‎16.已知 ，则__________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意根据，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．‎ 详解：由题意根据，.‎ 即答案为24 .‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎17.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.‎ ‎【答案】1或－3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x＝0，求出(2＋m)9的值，令x＝－2，求出m9的值，即得(2＋m)9·m9＝39，解方程即得解.‎ ‎【详解】令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，‎ 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，‎ ‎∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，‎ ‎∴m＝－3或m＝1.‎ 故答案为：1或－3‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求展开式的系数和差，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，‎ 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，‎ 必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；‎ 有相互独立事件的概率乘法公式，‎ 可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，‎ 故答案为0.128.‎ 法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，‎ 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，‎ 必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；‎ 有相互独立事件的概率乘法公式，‎ 可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128‎ 考点：相互独立事件的概率乘法公式 三、解答题 ‎19.已知复数为虚数单位.‎ ‎（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求的共轭复数.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出复数的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出的范围；（2）由已知得出 ，代入的值，求出 ．‎ 试题解析;（I）=， ‎ 由题意得 解得 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎20.二项式的二项式系数和为256.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中各项的系数和；‎ ‎（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）依题意知展开式中二项式系数的和为，由此求得的值，则展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，从而求得结果．‎ ‎（2）令二项式中的，可得二项展开式中各项的系数和；‎ ‎（3）由通项公式及且得当时为有理项；‎ 详解：‎ 因为二项式的二项式系数和为256，所以，‎ 解得.‎ ‎（1）∵，则展开式的通项 .‎ ‎∴二项式系数最大项为；‎ ‎（2）令二项式中的，则二项展开式中各项的系数和为.‎ ‎（3）由通项公式及且得当时为有理项；‎ 系数分别为，，.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．‎ ‎21.某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．‎ ‎(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列；‎ ‎(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；‎ ‎(3)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,求得P(C)＝,则所求概率为P()＝1－P(C)可得结果.‎ ‎(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论.‎ 试题解析：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，‎ 则P(C)＝＝＝.‎ ‎∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.‎ ‎(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.‎ ‎22.某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：第一班车：在8:00，8:20，8:40发车的概率分别为，，；第二班车：在9:00，9:20，9:40发车的概率分别为，，．两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客8:10到达车站乘车．求：‎ ‎（1）该旅客乘第一班车的概率；‎ ‎（2）该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列．‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 第一班车若在8:20，8:40发车则旅客能乘到,这两个事件是互斥的,即可求出概率.‎ ‎(2)由题意知候车时间的可能取值为10,30,50,70,90，根据条件中所给的各个事件的概率,和两班车发出时刻是相互独立的,得到各个变量对应的概率,即可求出分布列.‎ ‎【详解】解:(1)设”乘坐的是8:20的那一班”, ”乘坐的是8:40的那一班”,”乘第一班车”‎ 则 ‎ 因此, 旅客乘第一班车的概率为.‎ ‎(2)设 为候车时间,则 由题意知 ‎,,‎ ‎,‎ 故分布列为 ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列,考查了相互独立事件同时发生的概率,考查了学生的计算能力.‎ ‎23.经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买商品的概率分别为，，，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．‎ ‎（1）求该网民分别购买两种商品的概率；‎ ‎（2）用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求的分布列．‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意和概率的乘法公式可得进而可求购买两种商品的概率.‎ ‎(2)由题意知列出的可能取值,再求出每种取值下的概率.‎ ‎【详解】解:(1)由题意知,至少购买一件的概率为,所以一件都不买的概率为.‎ ‎ ①.因为最多购买两件商品的概率为 所以三件都买的概率为.即 ②.联立①②解得 ‎ 或.因为,所以.‎ ‎(2) .由题意知.则,‎ ‎ ‎ ‎,则的分布列为 ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了相互独立事件的概率.对于列分布列的问题,在写出分布列后,可将得到的概率加起来,判断是否为1,从而可以检验自己的计算有没有出错.‎