2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(一)作业

2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(一)作业

中难提分突破特训(一)‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.‎ 解　(1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB，‎ 由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB，‎ 整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，‎ 即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC.‎ 又sinC≠0，所以cosA＝，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，‎ 又CD＝2DB，∠BAC＝，‎ 所以ED＝AC＝1，∠DEA＝.‎ 由余弦定理可知，‎ AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos，‎ 解得AE＝4，则AB＝6.‎ 又AC＝3，∠BAC＝，‎ 所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3.‎ ‎2．已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．‎ ‎(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由；‎ ‎(2)当四面体A－BCD的体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．‎ 解　(1)若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得 AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.‎ 所以AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1.‎ 若AD⊥BC，由AD⊥AB，AB∩BC＝B，得 AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，‎ 所以AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，‎ 所以a2＝－1，无解，故AD⊥BC不成立．‎ ‎(2)要使四面体A－BCD的体积最大，‎ 因为△BCD的面积为定值，‎ 所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，‎ 此时平面ABD⊥平面BCD，‎ 过点A作AO⊥BD于点O，则AO⊥平面BCD， ‎ 以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C，D，‎ 显然，平面BCD的一个法向量为＝.‎ 设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 因为＝，＝，‎ 所以令y＝，得n＝(1，，2)．‎ 观察可知二面角A－CD－B为锐二面角，‎ 故二面角A－CD－B的余弦值为 ‎|cos〈，n〉|＝＝.‎ ‎3．已知动点P与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点B(－2,1)的直线l与曲线C交于M，N两点，求线段MN长度的最小值；‎ ‎(3)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)由题意，设P(x，y)，‎ 则|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2，‎ 所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，‎ 整理得(x＋1)2＋y2＝4.‎ 所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知轨迹C是以C(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．‎ 又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B在圆内，‎ 所以当线段MN的长度最小时，BC⊥MN，‎ 所以圆心C到直线MN的距离为 ‎|BC|＝＝，‎ 此时，线段MN的长为 ‎|MN|＝2＝2×＝2，‎ 所以，线段MN长度的最小值为2.‎ ‎(3)因为点Q的坐标为(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，‎ 所以圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2.‎ 因为圆Q与圆C有公共点，‎ 又圆Q与圆C的两圆心距离为 ‎|CQ|＝＝，‎ 所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t，‎ 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2≤t≤3.‎ 所以实数t的取值范围是[－3＋2，3]．‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的普通方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，‎ 得曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4，‎ 所以曲线C1的极坐标方程为(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ－3)2＝4，‎ 即ρ2－6ρcosθ－6ρsinθ＋14＝0.‎ 因为直线C2过原点，且倾斜角为，‎ 所以直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)设点A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 由 得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0，‎ 所以ρ1＋ρ2＝3＋3，ρ1ρ2＝14，‎ 又ρ1>0，ρ2>0，‎ 所以＋＝＝＝.‎ ‎5．设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；‎ ‎(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|，‎ 当x<0时，由2－3x≤4，得－≤x<0；‎ 当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；‎ 当x>1时，由3x－2≤4，得1

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