2017-2018学年安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年安徽省定远重点中学高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

定远重点中学2017-2018学年第二学期第一次月考 高二理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷（选择题 60分）‎ 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎3.设复数z满足 ， 则 =（　　） A.﹣2+i B.﹣2﹣i C.2+i D.2﹣i ‎3.已知 ， 则 的值为 ( ) A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎4.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（  ） A.ln2 B.1﹣ln‎2 C.2﹣ln2 D.1+ln2‎ ‎5.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为( ) A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数 ，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　） A. B. C. D.‎ ‎8.i是虚数单位，若 =a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值是（   ） A.﹣2 B.﹣‎1 C.0 D.‎ ‎9.已知函数的导数为，且对恒成立，则下列不等式一点成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10.已知复数满足（为虚数单位），则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在上不存在最值，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（选择题90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.观察下列数表：‎ ‎1‎ ‎3 5‎ ‎7 9 11 13‎ ‎15 17 19 21 23 25 27 29 ‎ 设2017是该表第行的第个数，则的值为__________．‎ ‎14.若复数（）为纯虚数，则_______．‎ ‎15.定积分的值为______．‎ ‎16.已知函数 下列四个命题： ①f(f（1）)>f（3）； ②x0∈(1, +∞),f'(x0)=-1/3； ③f(x)的极大值点为x=1； ④x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1 其中正确的有   （写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题(共6小题 ,共70分) ‎ ‎17.曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1 ,点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．‎ ‎18.已知函数f（x）= +lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数． （I）若a=1，求函数f（x）的单调区间； （II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．‎ ‎19.‎ 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形.‎ ‎（Ⅰ）求出；‎ ‎（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式.‎ ‎20.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围．‎ ‎21.已知复数， （，为虚数单位）‎ ‎（1）若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围. ‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数 的极值；‎ ‎（2）若在内为单调增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）对于，求证： .‎ 参考答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C C D D B C C A B C C ‎1.D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选：D．‎ ‎2.C【解析】设z=a+bi（a、b∈R），由题意知， ， ∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1， ∴z=2﹣i，=2+i， 故选C． ‎ ‎3.C【解析】由已知= ， 故选C。 ‎ ‎4.D【解析】由题意，阴影部分E由两部分组成 因为函数 ，当y=2时，x= ，所以阴影部分E的面积为 + =1+ =1+ln2 故选D． ‎ ‎5.D【解析】∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 故的取值范围为 ， 故选D ‎ ‎6.B【解析】根据题意函数的图象过原点，故可知b=2，且在原点处的切线斜率是-3，则,可得不等式组表示的平面区域在内的面积为 ， 选B. 解决的关键是通过已知的函数的性质得到参数a,b的值，进而得到解析式，然后借助于不等式区域来求解面积，属于中档题。‎ ‎7.C【解析】∵f（x）= x2sinx+xcosx，‎ ‎∴f′（x）= x2cosx+cosx，‎ ‎∴f′（﹣x）= （﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）= x2cosx+cosx=f′（x），‎ ‎∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，‎ 当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，‎ 故答案为：C．‎ ‎8.C【解析】∵ = = =a+bi， ∴ ，b=﹣ ． ∴lg（a+b）=lg1=0． 故选：C． ‎ ‎9.A【解析】由得，．设，在上递增,则，，．对于选项B和D,若（满足对恒成立）,则,从而选项B和D都是错误的,故选A.‎ ‎10.B【解析】由z（1﹣i）2=1+i，得 ‎ ‎∴|z|=. ‎ 故选：B．‎ ‎11.C【解析】由函数 的部分图象得 ，即有 ，从而 ，而 在定义域内单调递增， ，由函数 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到: ，解得 ， ， 函数 的零点所在的区间是 ，故答案为：C.‎ 由图像可知a、b的取值范围进而得到 g(x)在定义域内单调递增，代入数值得出 g()<0 , g(1) >0故得到 g(x) 在定义域内单调递增即得函数f(x) 有唯一的一个零点。 ‎ ‎12.C【解析】 ,因为若函数 在 上存在最值，则 ，即 ，所以若函数 在 上不存在最值，则 或 ，即实数的取值范围为 ，故选C.‎ ‎13.【解析】根据数表的数的排列规律， 都是连续奇数第一行，有个数，第二行，有个数,且第一个数是；第三行，有个数，且第一个数是；第四行，有个数，且第一个数是，第行，有个数，且第一个数是 ， ， 在第行， ， 是第行的第个数， ，故答案为.‎ ‎14.【解析】由题意可得： ，‎ 该数为纯虚数，则： ，解得： .‎ ‎15.0【解析】.‎ ‎16.①②③④‎ ‎【解析】‎ 函数 的图形如图所示，对于① ， ，①正确；对于② ， 时， ，故 ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ， 时， ，故④正确. 故答案为：① ② ③ ④.‎ ‎17.【解答】设切点坐标为(x0 ， y0) y′＝6x2－6x－2， 则, 切线方程为 则 即 整理得 解得,则切线方程为 解方程组,得或 由与的图像可知 ‎ ‎ ‎【解析】先求出切线方程，在求出积分的上下限，利用微积分基本定理求解积分 ‎18.解：（Ⅰ）若a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定义域为（0，+∞） = （x＞0 令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞）， 函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调增区间为（0，1）， 函数f（x）=3x﹣2x2+lnx单调减区间为（1，+∞）． （Ⅱ）. ， 若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数， 即 在[1，2] 或 恒成立． 或 即 或 在[1，2]恒成立． 即 或 令 ，因函数h（x）在[1，2]上单调递增． 所以 或 或 ，解得a＜0或 或a≥1 ‎ ‎【解析】（I）由a=1得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得出x的取值范围，即f（x）的单调区间；（II）由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．‎ ‎19.（I）；（II）.‎ ‎【解析】（I）先用前几项找出规律， ， ， ,可知；（II）由（I）知,然后利用累加法求出.‎ 试题解析：‎ 解：（I） ， ， ， ，‎ ‎ ， ， ， ‎ ‎ ．‎ ‎（II）由上式规律得出．‎ ‎ ， ， ， ， ， ‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎20.（1）（2）见解析 ‎【解析】第一问根据导数的几何意义，对函数求导，求出切线的斜率，根据两条直线垂直，斜率互为负倒数，列出方程，再结合函数图象过点M，列出方程组，解方程组求出a,b，第二问把a,b 的值代入函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，利用配方法求出二次函数的值域，即切线斜率的范围.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)因为y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx.‎ ‎∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，‎ ‎∴a＋b＝4.‎ 又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直，‎ ‎∴f′(1)＝9，∴‎3a＋2b＝9.‎ 由 得， . ‎ ‎(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x ‎＝3(x＋1)2－3≥－3.‎ ‎21.（1）；（2）。‎ ‎【解析】（1）先运用复数乘法计算，再依据虚数的定义建立方程求解；（2）借助（1）的计算结果，依据题设条件“复数在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组，再结合条件“”，求参数的取值范围。‎ 解：（1）依据 ‎ ‎ 根据题意是纯虚数，故， 且 ， 故； ‎ ‎ （2）依， ‎ 根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得 ‎ ‎ ‎ 综上，实数的取值范围为 ‎ ‎ ‎22.（1）极小值为，无极大值.（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）将代入，对函数求导，由单调性可判断函数的极值；（2）将函数 在内为单调增函数，则在上恒成立，进一步转化为一元二次不等式恒成立问题，可求的取值范围；（3）由函数单调性，当时， ，即．令，变形后可证不等式．‎ 试题解析：（1），‎ ‎（1）若， ，令得或（舍去），‎ 令，所以函数的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）在上单调递增， 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，‎ 当时，即时， ，所以，‎ 当时，即时， ，所以，‎ 综上.‎ ‎（3）当时，由（2）知， 在上单调递增，‎ 即时， ，即，‎ 所以，因为，所以，‎ 所以.‎