2017-2018学年河南省全国百校名师联盟高二月考领航卷（一）数学（理科）试题（解析版）

2017-2018学年河南省全国百校名师联盟高二月考领航卷（一）数学（理科）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省全国百校名师联盟高二月考领航卷（一）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知函数，则这个函数的导函数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以选C.‎ ‎2．函数从到的平均变化率为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ‎（舍）或 选B.‎ ‎3．函数的递增区间为（ ）‎ A. ， B. C. ， D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得 或，‎ 因此选A.‎ ‎4．已知函数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 所以 因此选D.‎ ‎5．曲线与直线所围成图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得 因此曲线与直线所围成图形的面积为，‎ 选D.‎ 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 ‎(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；‎ ‎(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；‎ ‎(3)确定被积函数；‎ ‎(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．‎ ‎2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ ‎6．若点为曲线上任意一点，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以 选B.‎ ‎7．已知的图象如图所示，其中是的导函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）‎ A. 仅有个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点 B. 因为有四个根，故函数有四个极值点 C. 有个极大值点，个极小值点 D. 没有极值 ‎【答案】A ‎【解析】根据极值定义得极值点附近单调性变化，即导数符号变号，由图知由四个零点，但只有中间两个零点附近符号发生变化，即仅有个极值点，一个导函数符号由正变负，是极大值点，一个导函数符号由负变正，是极小值点，A正确.B,C,D错误.‎ ‎8．若函数在区间上递减，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，‎ 因此 ；选D.‎ ‎9．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切点为，则因为，所以，‎ 因为，所以 选A.‎ ‎10．若，恒成立，则正数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，‎ 当时，‎ 当时，的最小值，‎ 令，则，‎ 当时，；当时，；所以当时，；‎ 综上，正数的取值范围为，选C.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎11．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令 由得 所以，选B.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎12．在直角中，，，，点、分别在、边上，且，沿着将折起到的位置，使得平面与平面所成二面角的平面角为（其中点为点翻折后对应的点），则四棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，，所以,‎ 因为，，所以，‎ 因此为平面与平面所成二面角的平面角,即 设，则四棱锥的高为 因此四棱锥的体积为，‎ 由，当时，；当时，；所以时选B.‎ 点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 所以 ‎14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第时，原油的温度（单位：）为，则在第时，原油温度的瞬时变化率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 所以在第时，原油温度的瞬时变化率为 ‎15．已知函数在区间上是减函数，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，‎ 调整为：，而表示坐标原点到直线上点的距离的平方，即所以的最小值是.‎ ‎16．若函数在上有个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由或，‎ 所以当时，；当时，；当时，；而，因此要使函数在上有个零点，由示意图可知，需或，即或 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的导函数；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）和.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数乘法法则求导函数，（2）设切点的坐标，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，代入点（1，1），解得，或，最后反代回切线方程得所求.‎ 试题解析：解：（1）.‎ ‎（2）由，设切点的坐标为 则所求切线方程为：‎ 将点的坐标代入上述方程可得：，‎ 整理为：，解得：，或 将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.‎ ‎18．已知函数在处有极值，求实数、的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由极值定义得，与联立方程组解得实数、的值.然后代入检验是否为极值点.‎ 试题解析：解：由，有，可得 由，联立上述两方程消去得：，当时可得：，此时；‎ 当时可得，此时 ‎①当时，，，‎ 故当时函数有极小值.‎ ‎②当时，，，故函数单调递减，没有极值.‎ 由上知.‎ ‎19．已知函数，且为函数的极值点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若当时，存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据极值点定义得，解得a的值，再代入验证为函数的极值点.（2）先转化不等式为：，再根据（1）确定函数单调性：当时函数单调递增；当时函数单调递减.根据单调性确定函数，最后解不等式可得实数的取值范围.‎ 试题解析：解：（1），‎ 由得，解得：，‎ ‎（2）由（1）知，令可得，故当时函数单调递增；当时函数单调递减.‎ 由，，故有，则.‎ 由存在实数使得不等式成立，可得：，解得：.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在区间的最值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据a讨论，按0，1分割成五类分别进行讨论，最后根据导函数符号确定对应区间单调性，（2）先根据a与-1的大小分类讨论，当时，函数单调性递增，即得最值；当时，函数先减后增，可得最小值，再比较两个端点值大小确定最大值.‎ 试题解析：解：（1）令，‎ ‎①当时，，为常数函数，则在上没有单调性.‎ ‎②当时，，故函数在上单调递增.‎ ‎③当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.‎ ‎④当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.‎ ‎⑤当时，令可得：，故在上递增，在，上递减.‎ ‎（2）①当时，由（1）知函数在区间上单调递增，故，.‎ ‎②当时，由（1）知函数区间上单调递减，在区间 上单调递增；故 ，‎ 由，‎ 故当时，；‎ 当时，；‎ ‎21．如图所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且两座城市之间的距离为；城在城的正北方向，且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路，甲有急事要从城赶到城，现甲先从城沿公路步行到点（不包括、两点）处，然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时，在山路上步行速度为每小时，设（单位：弧度），甲从城赶往城所花的时间为（单位：）.‎ ‎（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；‎ ‎（2）当点在公路上何处时，甲从城到达城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.‎ ‎【答案】（1）定义域为（2）点所在的位置为处，甲所花最短时间为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根据时间等于路程除以速度得，最后根据实际意义得定义域，（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法.‎ 试题解析：解：（1）在中，，，‎ 故.‎ 由图知，，故函数的定义域为 ‎（2）令 则.‎ 令，可得，由可解得.‎ 故函数的增区间为，减区间为 故当时，函数.‎ 故点所在的位置为处，甲所花最短时间为.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若函数在上存在极值，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得斜线斜率为，再根据点斜式得切线方程，最后根据圆心到切线距离等于半径求的值；（2）即导函数在上有零点且在零点附近变号，由于导函数为单调递增函数，所以根据零点存在定理得 解得的取值范围；(3)因为函数 有两个零点，所以函数不单调，即导函数至少有一个零点，由于导函数单调递增，所以导函数有且仅有一个零点，且为极小值点，因此，利用以及导数研究可得，再由，可得.最后证明时函数有两个零点，先证，再证，再证，，结合零点存在定理可得结论.‎ 试题解析：解：（1）∵，由，，故曲线在点处的切线方程为：，整理为：‎ 由切线与圆相切有，解得：‎ ‎（2）∵为上的增函数，‎ ‎∴即解得：.‎ ‎（3）由，当时由函数为增函数，‎ 则函数若存在零点，有且仅有一个，令.‎ ‎①当时，，‎ 令，由有 故当时函数单调递增，当单调递减，‎ 又由，，‎ 可知当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，‎ 故，此时函数有且只有一个零点.‎ ‎②当时，由，，故方程在区间上有解.‎ ‎③当时，由，，‎ 故方程在区间上有解 由上知当时函数有唯一的极小值点，记为，有，可得 要使得函数有两个零点，至少需要，可得 由函数单调递增，且，可得：，由，可得 由上知当时，，且，‎ 而，‎ 由常用不等式，可知，故，‎ 又，‎ 故，‎ 故此时函数有且仅有两个零点.‎ 由上知的取值范围为.‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎