高中数学人教a版必修四课时训练：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

高中数学人教a版必修四课时训练：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第二章 平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关 概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念． 1．向量：既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的几何表示：以 A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念： (1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量． (3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量 a 平行于 b，记作________． ②规定：零向量与__________平行． 一、选择题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其 中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列条件中能得到 a＝b 的是( ) A．|a|＝|b| B．a 与 b 的方向相同 C．a＝0，b 为任意向量 D．a＝0 且 b＝0 3．下列说法正确的有( ) ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为 0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．命题“若 a∥b，b∥c，则 a∥c”( ) A．总成立 B．当 a≠0 时成立 C．当 b≠0 时成立 D．当 c≠0 时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( ) A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B．模为 0 的向量与任一向量平行 C．向量就是有向线段 D．|a|＝|b|⇒a＝b 6．下列说法正确的是( ) A．向量AB→∥CD→ 就是AB→所在的直线平行于CD→ 所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量长度等于 0 D．共线向量是在一条直线上的向量 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．给出以下 5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与 b 的方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与 b 都是单位向量．其中能使 a∥b 成立的是________．(填序号) 8．在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→ 且|AB→|＝|AD→ |，则四边形的形状为________． 9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点； ②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________. 10．如图所示，E、F 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点，则与向量EF→共线的向量有 ________________(将图中符合条件的向量全写出来)． 三、解答题 11. 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点． (1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模大小相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量． 能力提升 13. 如图，已知AA′→ ＝BB′→ ＝CC′→ . 求证：(1)△ABC≌△A′B′C′； (2)AB→＝A′B′→ ，AC→＝A′C′→ . 14. 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA→ ＝a，OB→ ＝b，OC→ ＝c. (1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量． 1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如 a>b 没有意义，而|a|>|b|有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行． §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 答案 知识梳理 1．大小 方向 2.AB→ 3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量 作业设计 1．D 2.D 3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．] 4．C [当 b＝0 时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．] 5．B [由于模为 0 的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选 B.] 6．C [向量AB→∥CD→ 包含AB→所在的直线平行于CD→ 所在的直线和AB→所在的直线与CD→ 所在的 直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向 量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以 A、B、D 均错．] 7．①③④ 解析 相等向量一定是共线向量，①能使 a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量， ③能使 a∥b；零向量与任一向量平行，④成立． 8．菱形 解析 ∵AB→＝DC→ ，∴AB 綊 DC ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵|AB→|＝|AD→ |，∴四边形 ABCD 是菱形． 9．单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 10.FE→，BC→，CB→ 解析 ∵E、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF∥BC， ∴符合条件的向量为FE→，BC→，CB→. 11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图 略)． 12．解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点， 所以 EF 綊 1 2BC.又因为 D 是 BC 的中点， 所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→ ，DB→ ，DC→ ，CD→ ，BC→，CB→. (2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→ ，DB→ ，DC→ ，CD→ . (3)与EF→相等的向量有：DB→ 与CD→ . 13．证明 (1)∵AA′→ ＝BB′→ ， ∴|AA′→ |＝|BB′→ |，且AA′→ ∥BB′→ . 又∵A 不在BB′→ 上，∴AA′∥BB′. ∴四边形 AA′B′B 是平行四边形． ∴|AB→|＝|A′B′→ |. 同理|AC→|＝|A′C′→ |，|BC→|＝|B′C′→ |. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形 AA′B′B 是平行四边形， ∴AB→∥A′B′→ ，且|AB→|＝|A′B′→ |. ∴AB→＝A′B′→ .同理可证AC→＝A′C′→ . 14．解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个． (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有OD→ ，BC→，AO→ ，FE→. (3)与 a 共线的向量有EF→，BC→，OD→ ，FE→，CB→，DO→ ，AO→ ，DA→ ，AD→ . (4)与 a 相等的向量有EF→，DO→ ，CB→；与 b 相等的向量有DC→ ，EO→ ，FA→；与 c 相等的向量有FO→ ，ED→ ， AB→.