【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为 A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0‎ ‎3．下列求导运算正确的是.‎ A． B． C． D．‎ ‎4．随机变量，且，则 A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80‎ ‎5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是 A．若则 B．若 则 C．若，，则 D．若，，则 ‎6．个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有 A．种 B．种 ‎ C．种 D．种 ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值是 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎8．设双曲线的离心率为，且它的一个焦 点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎9．函数的大致图象是 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率 A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数存在两个极值点.则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．的展开式中的常数项是__________．‎ ‎14．函数的极值点是_____________________‎ ‎15．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．‎ ‎16．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求在上的最值；‎ ‎（II）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.‎ ‎18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有％的把握认为平均车速超过的人与性别有关．‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎（II）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：‎ ‎，其中.‎ ‎19．（12分）在三棱柱中，侧棱底面，分别是、、的中点，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线 有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ‎（I）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）若点，，在曲线上，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（II）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C ‎ ‎9．A 10．B 11．B 12．B ‎13． 14．或1或0 15． 16．‎ ‎17．（1）因为，所以，令，解得或，‎ 因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，‎ 又因为，，，‎ 所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.‎ ‎（2）因为，结合的图象：‎ 令，解得，‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎18．（Ⅰ）‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女性驾驶员人数 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为，‎ 所以有％的把握认为平均车速超过与性别有关；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．‎ X可取值是0，1，2，3，，有：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎．‎ ‎19．（Ⅰ）因为，，所以，‎ 又侧棱底面，所以，，‎ 所以平面，而平面，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可知，，，‎ 以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，设面的法向量为，‎ 则由得即令得．‎ 又由题可知面的法向量． 所以 ‎，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎20．（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为，‎ 因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），‎ 由，解得，所以抛物线的方程为 ‎(II)由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，‎ 故可设直线的方程为，‎ 代入抛物线方程得，由题意知，得.‎ 设，则，，当时，，‎ 可得直线的方程为，‎ 由，整理可得，所以直线恒过点，‎ 当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.‎ ‎21．（1）函数的定义域为，‎ ‎①当时，，所以在上单调递增,‎ ‎②当时，令，解得：‎ 当时，， 所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增,‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增;‎ ‎（2）当时，，要证明，即证，即,‎ 设则，令得，,‎ 当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点 ‎ 所以，即故当时，; ‎ ‎（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,‎ 所以 ‎,‎ 即所以.‎ ‎22．（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．‎ ‎∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，‎ 把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．‎ ‎（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，‎ ‎∴== ‎ ‎=．‎ ‎23．（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，则，即，解得；‎ ‎（2）当时，由绝对值三角不等式得，‎ 又对一切实数恒成立，所以，‎ 令，化简得，解得，所以，实数的取值范围为.‎