内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二下学期数学（文）月考试题

内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二下学期数学（文）月考试题

呼和浩特市二中2019—2020学年高二第二学期数学 ‎(文科)月考考试试卷 一､选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)‎ ‎1.已知函数的导函数,且满足，则＝(　　)‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．‎ ‎【详解】对函数进行求导，得把代入得，‎ 直接可求得．‎ ‎【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是是一个实数．‎ ‎2.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数证明即可.‎ ‎【详解】‎ 的单调增区间为 故选C ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎3.点是曲线上任意一点，曲线在点处的切线与平行，则的横坐标为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，对函数求导，得到，根据题意，得出，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意，设，，‎ 由得，则，‎ 因为曲线在点处的切线与平行，‎ 所以，解得：或（舍）‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查已知曲线上某点处的切线斜率求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎4.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为(　　).‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.‎ 详解：‎ 导函数在上的图象如图所示，‎ 由函数取得极大值点的充要条件是：‎ 在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，‎ 由图象可知，函数只有在点处取得最大值，‎ 而在点处取得极小值，而在点处无极值，‎ 函数在上的极大值点的个数为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎5.已知的一个极值点为，且，则、的值分别为（ ）‎ A. 、 B. 、 C. 、 D. 、‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数在处是否取到极值进行检验，可得出结果.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意得，解得或.‎ 当，，则，‎ 此时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当，时，，‎ 若，，若，则，‎ 此时，函数在处取得极小值，合乎题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （　 ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；‎ 总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；‎ 考察A. D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，‎ 考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.‎ 故选A.‎ ‎7.已知函数在处取到极小值，则的值为（ ）‎ A. 3或9 B. ‎3 ‎C. 9 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出，由，得出或，进行验证，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得或 当时，‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 满足在处取到极小值 当时，‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 则在处取得极大值 综上，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了已知函数的极值点求参数，属于中档题.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，已知曲线，过点（为自然对数的底数）的直线与曲线切于点，则点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得出切线方程，将点代入得，解出，即可得出答案.‎ ‎【详解】设，则曲线在点处的切线方程为 将点代入得，化简得到 ‎，则 在上为增函数 又有唯一解 即 故选B ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎9.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.‎ ‎【详解】函数，‎ 则，令，‎ 解得的两个极值点为，故排除AD，‎ 且当时，恒为正，排除C，‎ 即只有B选项符合要求，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.‎ ‎10.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，得到，由得，令，，用导数的方法求出其最值，分别假设在区间上单调递增或递减，求出参数范围，即可求出不单调时的参数范围.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由得，‎ 令，，‎ 则， ‎ 由得或；由得；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以；‎ 又，，所以，‎ ‎①若函数在区间上单调递增，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立，‎ 所以只需；‎ ‎②若函数在区间上单调递减，‎ 则在上恒成立，即在上恒成立，‎ 所以，只需，‎ 又因为函数在区间上不单调，‎ 所以只需.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求解即可，属于常考题型.‎ ‎11.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】依题意可设，所以.‎ 所以函数在上单调递增，又因为.‎ 所以要使，即，只需要，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值．‎ ‎13.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取何值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定义得出函数是奇函数，利用导数得出其单调性，根据奇函数和单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】的定义域为，关于原点对称 是奇函数 ‎（当且仅当，即时等号成立）‎ ‎，当且仅当时等号成立 在上单调递增 ‎，解得 故选A ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.‎ ‎14.对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先对函数求导，判断函数单调性，求出函数最小值，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由得；由得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 则，‎ 即恒成立，因此函数的下确界为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的最值，通常需要对函数求导，通过研究函数单调性来确定最值，属于常考题型.‎ ‎15.已知，为自然对数的底数，下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，，对其求导，得到在上单调递减，推出 ‎，进而可得出结果.‎ ‎【详解】构造函数，，‎ 则，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递减；‎ 因为，则，即，‎ 即，则 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的单调性比较大小，解题的关键在于构造函数，用导数的方法判断函数的单调性，属于常考题型.‎ ‎16.对于函数，有下列命题：‎ ‎①过该函数图象上一点的切线的斜率为；‎ ‎②函数的最小值为；‎ ‎③该函数图象与轴有4个交点；‎ ‎④函数在上为减函数，在上也为减函数.其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的方法，求出时的单调性与最值；根据二次函数的性质，确定时的单调性与最值，进而逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】当时，，，故，即①正确；‎ 由得；由得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故时， ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故时，有最小值为；‎ 因为，所以的最小值为；即②④正确；‎ 因为时，恒成立，且；时，与轴有个交点；‎ 故该函数图像与轴有个交点，故③错.‎ 即正确命题的序号是：①②④.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的方法求函数最值，单调性，以及函数零点问题，属于常考题型.‎ 二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎17.曲线在点处的切线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数在x=0时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程.‎ ‎【详解】，‎ 斜率，切点为，‎ 则切线方程为即y=3x+1‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎18.已知，，则函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用导数得出单调性，画出图象，即可得出结论.‎ ‎【详解】，则 令 当时，，‎ 则函数在区间上单调递减 当时，‎ ‎；‎ 在区间上单调递增，在区间上单调递减 画出函数与的图象，如下图所示 由图可知函数与的图象有三个交点，则函数的零点个数为3个 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于中档题.‎ ‎19.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数在区间上存在单调递增区间，转化为存在，使得成立，构造函数，利用导数得出的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在区间上存在单调递增区间 所以存在，使得成立 即存在，使得成立 即存在，使得成立 令，则 在区间上单调递减，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，属于中档题.‎ ‎20.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得的值.‎ ‎【详解】依题意，，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，令，解得，故直线与相切切点为.由此求出两条切线方程为和；即和，故，，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.‎ 三､解答题(本大题共4小题，共50分.)‎ ‎21.已知函数在处取到极值.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，即可得出函数的解析式；‎ ‎（2）利用导数求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 由题意得，解得 即 ‎（2）‎ 或 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增 ‎【点睛】本题主要考查了由函数的极值求参数以及利用导数求最值，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）证明：，都有；‎ ‎（2）令，讨论的零点个数.‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）1个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，对其求导，求出函数单调性，得出最值，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先对函数求导，得到，对其求导，用导数的方法研究其单调性，确定最值，得出恒成立，判断出函数的单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（1）令，则，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此，‎ 即，即，恒成立；‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 由得；由得；‎ 则在上单调递增，在上单调递减；‎ 因此，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立，‎ 所以函数在上单调递减，‎ 又，‎ 所以函数有1个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的方法研究函数的零点，以及导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性与最值等，属于常考题型.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）且（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出存在，使得成立，即存在，使得成立，求出的最大值，即可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）分类讨论参数的值，利用导数得出的最小值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 在上存在单调递减区间 存在，使得成立 即存在，使得成立 且 ‎（2）‎ 当时，，则函数在上单调递减 成立，即 当时，由，则 所以函数在上单调递减，恒成立，即 当时，；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增 ‎，解得 综上，‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒能成立问题，属于中档题.‎ ‎24.已知函数.‎ ‎（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围.‎ ‎（2）如果对任意、，有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数得出的单调性以及极值，画出其函数图象，根据图象，得出实数的取值范围；‎ ‎（2）结合函数的单调性，构造函数，由得出函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，得出的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，‎ ‎；‎ 在上单调递增，在上单调递减，则极大值为 当时，；当时，‎ 由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象，如下图所示 在区间，上同时存在函数的极值点和零点 ‎，解得 即 ‎（2）由（1）可知，函数在上单调递减 不妨设，由，得 令 函数在上单调递减 则在上恒成立，即在上恒成立 当时，的最小值为 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.‎ ‎ ‎