2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学（文）试题-解析版

2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 河北省武邑中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ 则 ‎ 故选 ‎2．△ABC中，则△ABC的形状是（ ）‎ A． 直角三角形 B． 等边三角形 C． 钝角三角形 D． 锐角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得∴故选B.‎ 考点：余弦定理的应用 ‎3．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得△ABC的最大边为，根据三角形内角和定理求出A＝30°后再根据正弦定理求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得B> C，B> A，‎ ‎∴△ABC的最大边为．‎ 又，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 即三角形的最大边长为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用和三角形中边角间的关系，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得 为整数的正整数n的个数是（ ）‎ A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前n项和公式可得，于是将表示为n的关系式，分离常数后再进行讨论，最后可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前n项和公式可得，‎ ‎，‎ 所以当时，为整数，即为整数，‎ 因此使得 为整数的正整数n共有5个．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的和与项的关系和推理论证能力，解题时要结合求和公式进行变形，然后再根据变形后的式子进行分析，本题具有一定的综合性和难度，能较好地考查学生的综合素质．‎ ‎5．下列事件是随机事件的是（ ）‎ ‎①当时，； ② 当有解 ‎③当关于x的方程在实数集内有解；④当时，‎ A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机事件的概念对四个事件分别进行分析即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于时，成立，故事件①为必然事件；‎ 对于②，由于无实数根，故事件②为不可能事件；‎ 对于③，当关于x的方程在实数集内可能有解、也可能无解，故事件③为随机事件；‎ 对于④，当时，可能成立，也可能不成立，故事件④为随机事件．‎ 综上，事件③④为随机事件．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机事件的概念和判断，解题时根据随机事件的概念求解即可，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题，．‎ ‎6．二次函数的最大值为0，则（ ）‎ A． 1 B． －1 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 因为二次函数有最大值，‎ 所以．‎ 又二次函数的最大值为，‎ 由题意得，‎ 解得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 解题时要先根据二次函数的最值情况判断出的符号，然后再根据最值情况求得的值即可，考查理解判断和计算能力．‎ ‎7．容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）‎ A． 样本数据分布在的频率为0.32‎ B． 样本数据分布在的频数为40‎ C． 样本数据分布在的频数为40‎ D． 估计总体数据大约有10%分布在 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．‎ ‎【详解】‎ 对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确．‎ 对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确．‎ 对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确.‎ 对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．‎ ‎8．甲、乙、丙三名运动员在某次比赛中各射击20次，三人成绩如下表 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ 乙 ‎3‎ ‎16‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 丙 ‎8‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ 用分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的标准差，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中数据求出甲、乙、丙三名运动员的比赛成绩的平均数和方差后比较即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 用分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的平均数，‎ 由题意得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以 ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，‎ 所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查样本平均数、方差的计算，由于解题时涉及到大量的计算，因此本题中容易出现的问题是计算中的错误，要求平时要做好这方面的训练．‎ ‎9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且sinA,sinB，sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sinA,sinB,sinC成等比数列得到，再结合和余弦定理可得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinA,sinB,sinC成等比数列，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得．‎ 又，‎ 故在△ABC中，由余弦定理的推论得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用余弦定理解三角形，其中解题的关键是根据题意得到三角形中三边的关系，考查计算能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎10．数列满足，，，则等于(　　)‎ A． 15 B． 10 C． .9 D． 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意计算得到的值，然后再根据的值求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，即，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是求出，进而得到数列的递推关系，然后再结合题意求解，考查推理和计算能力，属于基础题．‎ ‎11．下列命题中错误的是(　　)‎ A． 如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B． 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C． 如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面 D． 如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；‎ B. 如A中的图,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则a∥β，所以正确；‎ C. 如图，‎ 设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，‎ 所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，‎ 所以l⊥γ.所以正确。‎ D. 若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；‎ 故选：A.‎ ‎12．函数的部分图像如图，则（ ）‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数图像可知周期，所以，观察图像可知 ，所以，故选择B. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．=______________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据二倍角正弦公式的变形可知：．‎ 考点：二倍角正弦公式．‎ ‎14．某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图．根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差__________（填甲或乙）更大．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】由图可知，乙的数据波动更大，所以方差更大的是乙。‎ ‎15．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作个社团中随机选择个，则数学建模社团被选中的概率为_________..‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 从个社团中随机选择个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为 ‎ ‎16．在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，然后可得BE与CF的平方比，分离常数变形后，由A为三角形的内角得到A的范围，求出比值的范围，进而可得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又E,F分别是AC,AB的中点，‎ ‎∴．‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 令，‎ 则在上单调递减，‎ ‎∴，即.‎ 又恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的最小值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题涉及的知识点较多、难度较大，以考查最值为载体考查了解三角形的知识，通过余弦定理得到所求的两线段的比值，然后再转化成三角函数的最值的问题处理．解题时要注意，为了应用余弦定理，首先要将条件进行整合，转化到同一三角形中，再利用解三角形的知识求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC 中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a=4，c=3，cosB=．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求△ABC 的面积．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理直接求b的值即可．（2）先由求出，再根据三角形的面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵a=4，c=3，cosB=．‎ ‎∴由余弦定理可得b===． ‎ 故b的值．‎ ‎（2）∵cosB=，B为三角形的内角，‎ ‎∴sinB===，‎ 又a=4，c=3，‎ ‎∴S△ABC=acsinB==．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误．‎ ‎18．的角的对边分别为，已知．‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若，三角形的面积，求的值．‎ ‎【答案】（1）60°；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理将所给的条件转化成边，然后再利用余弦定理的推论求解可得角C 的大小．（2）由三角形的面积得到，再由余弦定理可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及正弦定理得．‎ 由余弦定理的推论得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 解题时注意两点：‎ ‎（1）利用余弦定理求三角形的内角时，不要忘了注明所求角的范围，这是解题时常出现的错误．‎ ‎（2）余弦定理和三角形的面积常结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，常用的方法是把和分别作为一个整体进行求解．‎ ‎19．如图，在平行四边形中，点．‎ ‎（）求所在直线的斜率．‎ ‎（）过点做于点，求所在直线的方程．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（）（）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)点O（0，0），点C（1，3），‎ OC所在直线的斜率为.‎ ‎（2）在中，,‎ CD⊥AB，‎ CD⊥OC.‎ CD所在直线的斜率为.‎ CD所在直线方程为 ‎ 考点：求直线斜率与直线方程 点评：由两点求直线斜率，当时斜率不存在，两直线垂直，则斜率乘积为 ‎20．已知是递增的等差数列，，是方程的根.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得等差数列的首项和公差，然后可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，然后根据错位相减法求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ ‎∵，是方程的根，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 设数列的前项和为，‎ 则，①‎ ‎∴，②‎ ‎①②，得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的前项和为．‎ ‎【点睛】‎ 运用错位相减法求和时要根据所给数列的形式进行判定，只有给出的数列是等差乘以等比的形式时才可利用错位相减法求和．错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．‎ ‎21．设函数y=是定义在上的减函数，并且满足=+,。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在实数，使得，求的值；‎ ‎（3）若，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）0；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令==1，利用赋值法可得所求的函数值．（2）根据条件可得，又函数y=为减函数，故可得．（3）由题意得不等式，然后根据函数的单调性可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令==1，则=+，‎ ‎∴=0．‎ ‎（2）∵=1，‎ ‎∴2，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵函数y=为减函数，‎ ‎∴．‎ ‎（3）由题意得，‎ ‎∵函数y=是定义在上的减函数，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 解答与抽象函数有关的问题时要注意以下两点：一是利用赋值法求解相关的函数值，即通过选取合适的自变量的取值达到求解的目的；二是充分利用所给的函数的性质进行求解．‎ ‎22．已知，，且．‎ ‎(1)将表示为的函数，并求的单调递增区间；‎ ‎(2)已知分别为的三个内角的对边，若，且，，求的面积．.‎ ‎【答案】（1） ；（2） 。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量的数量积为0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求．（2）由（1）及题意可得，然后由余弦定理和可求得，最后根据三角形的面积公式可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴函数的递增区间为．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可．对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用，将和作为整体求解，可提高解题的效率．‎