数学理卷·2018届河北省承德一中高二下学期第一次月考（2017-03）

数学理卷·2018届河北省承德一中高二下学期第一次月考（2017-03）

河北承德第一中学2016—2017学年度下学期第一次月考 ‎ （高二理科数学）‎ 命题人：吴亲饶 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项.）‎ ‎1. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 ‎2. 函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，2)‎ C．(0,2) D．(－∞，0)‎ ‎3. O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|＝(　　)‎ A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4‎ ‎4. 由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为(　　)‎ A．②①③ B．③①②‎ C．①②③ D．②③①‎ ‎5. 在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎6. 设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ ‎7. 用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等号左边的项是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎8. 直线的倾斜角是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎9. 函数y＝的最大值为(　　)‎ A．e－1 B．e C．e2 D. ‎10. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．[－，]‎ C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)‎ ‎11. 观察以下等式：‎ ‎，……‎ 由此可以推测（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎12．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）‎ ‎13. ʃ|sinx|dx=____________‎ ‎14. 在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，‎ 类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，‎ 则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是__________________________________‎ ‎15. 曲线与交点的个数为__________‎ ‎16. 点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________‎ 三、解答题：（‎ 本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）‎ ‎17.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,当其体积最大时，底面半径和高分别为多少？‎ ‎18. 已知a>0，b>0，a＋b＝1，‎ 求证：＋≤2.‎ ‎19. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程 为(α为参数)．设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的 最小值并求此时该点坐标。‎ ‎20. 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎21. 设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求点M的轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 ‎22. 设函数 ‎（1） 判断并证明f(x)在定义域内的单调性；‎ ‎（2）证明：当x＞－1时，f(x)≥；‎ ‎（3）设当x≥0时，f(x)≤，求a的取值范围．‎ ‎1.B 2.C 3. C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10. B 11.D 12.B ‎ ‎13. 4 14. 15. 2 16. ‎ ‎17. 设圆锥的高为，则圆锥的底面半径为 则圆锥的体积为 则 当时，解得：；当时，解得：‎ 所以在单调递减，在递增 所以当cm时，此时 cm，有最大值 ‎18. 方法1（综合法）证明　∵1＝a＋b≥2，∴ab≤.‎ ‎∴(a＋b)＋ab＋≤1.‎ ‎∴≤1.‎ 从而有2＋2≤4.‎ 即＋＋2≤4.‎ ‎∴2≤4.‎ ‎∴＋≤2.‎ 方法2（分析法）略 ‎19. ‎ 所以，此时可取，此时该点坐标为 ‎20. （1）因为f¢(x)＝＋2x－10，所以f¢(3)＝＋6－10＝0，‎ 因此a＝16．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f¢(x)＝．‎ 当x∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，f¢(x)＞0；当x∈(1，3)时，f¢(x)＜0．‎ 所以f(x)的单调增区间是(－1，1)、(3，＋∞)；f(x)的单调减区间是(1，3)．‎ 极大值为，极小值为 ‎21. ，将代入得：‎ ‎ （1）圆C极坐标方程为：‎ ‎(2)设圆C上的点为，则坐标满足则 代入圆C方程得：‎ ‎，所以点M极坐标方程为，是半径为的圆 ‎22. 解：‎ ‎(1) 在定义域内增 ‎（2）当x＞－1时，f(x)≥当且仅当ex≥x＋1．‎ 令g(x)＝ex－x－1，则g¢(x)＝ex－1．‎ 当x≤0时g¢(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g¢(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．‎ 于是函数g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即ex≥x＋1．‎ 所以当x＞－1时，f(x)≥．‎ ‎（3）由题意x≥0，此时f(x)≥0，‎ 当a＜0时，若x＞－，则＜0，f(x)≤不成立；‎ 当a≥0时，令h(x)＝axf(x)＋f(x)－x，则f(x)≤当且仅当h(x)≤0．‎ h¢(x)＝af(x)＋axf¢(x)＋f¢(x)－1＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)＝(a－ax－1)f(x)＋ax．‎ 由（Ⅰ）知f(x)≥，即x≤(x＋1)f(x)，‎ h¢(x)＝(a－ax－1)f(x)＋ax≤(a－ax－1)f(x)＋a(x＋1)f(x)＝(2a－1)f(x)．‎ ‎（ⅰ）当0≤a≤时，h¢(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)是减函数，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤．‎ ‎（ⅱ）当a＞时，由（ⅰ）知f(x)≤，即x≥f(x)，‎ h¢(x)＝(a－ax－1)f(x)＋ax≥(a－ax－1)f(x)＋af(x)＝(2a－1－ax)f(x)，‎ 当0＜x＜时，h¢(x)＞0，所以h(x)＞h(0)＝0，即f(x)＞．‎ 综上，a的取值范围是[0，]．‎