2019-2020学年甘肃省武威第六中学高二上学期第三次学段考试数学（理 ）试题

2019-2020学年甘肃省武威第六中学高二上学期第三次学段考试数学（理 ）试题

武威六中2019-2020学年度第一学期第三次学段考试高二理科数学试卷 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题“”为假，“”为假，则（ ）‎ A．真真 B．假假 C．真假 D．假真 ‎2．已知空间向量，，且，则（ ）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，，既不在内，也不在内，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎ ‎5．是"方程""表示焦点在y轴上的椭圆的( )‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A．4 B． C．6 D．2‎ ‎7．已知命题：关于的函数 在 上是增函数，命题：函数为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图所示，在三棱柱中，，，，点，分别是棱，‎ 的中点，则直线和所成的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若命题是真命题，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知直线：与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1// MN；③MN//平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN，其中，正确命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎12．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题：“”的否定是 .‎ ‎14．直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是__________．‎ ‎15．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.‎ ‎16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.‎ 三、解答题（6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）．设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；‎ 命题，.若“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）如图所示的几何体中，矩形和矩形所在平面互相垂直, ,为的中点,.‎ ‎（Ⅰ）求证: ；‎ ‎（Ⅱ）求证: .‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱中，已知平面，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C1的长轴长为8,短半轴为2,抛物线C2的顶点在原点且焦点为椭圆C1的右焦点．‎ ‎（1）求抛物线C2的标准方程；‎ ‎（2）过（1，0）的两条相互垂直的直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的面积的最小值．‎ ‎21．（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）求证：直线MN过定点R（，0）‎ ‎（3）求△MNF2面积的最大值．‎ ‎2019~2020学年度第三学段考试高二数学试卷(理)‎ 参考答案 ‎1．C2．C3．A4．D5．B6．A7．C8．B9．A10．C ‎11．B12．D ‎13．14．215．16．‎ ‎17．【详解】‎ 若为真命题，则 得：‎ 若为真命题：则：‎ 得：‎ 所以由：，得：，‎ 所以实数的范围为.‎ ‎18．分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，连结交于,连结，可证；（2）线面垂直只需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，由，可得结论.‎ 详解：（I）证明：连结交于,连结 因为为中点，为中点,‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以; …………………4分 ‎(II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直,‎ 所以 所以，又因为 所以,所以 因为，正方形和矩形，所以,‎ 所以，所以,又因为,所以 又因为,所以，所以,‎ 所以。 …………………12分 ‎19．解：（1）如图,连接,因为平面,平面,平面,所以,. ‎ 又,所以四边形为正方形,所以.‎ 因为,所以.又平面,平面,,所以,平面 因为平面,所以.‎ 又平面,平面,,所以平面.‎ 因为平面,所以 ‎（2）解法1:在中,,,,所以.‎ 又平面,,所以三棱锥的体积 易知,,,‎ 所以 设点到平面的距离为,则三棱锥的体积,‎ 由等体积法可知,则,解得 .‎ 设直线与平面所成的角为,则,‎ 故直线与平面所成角的正弦值为 解法2：(2)由（1）知,,,两两垂直,以为坐标原点,以,,所在的直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,.‎ 所以,,,,‎ 所以,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,‎ 即,‎ 令,,所以为平面的一个法向量,‎ 则 设直线与平面所成的角为,则,‎ 故直线与平面所成角的正弦值为 ‎20.(1)设椭圆半焦距为c（c＞0）,由题意得c．‎ 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0）,则，∴p＝4,‎ ‎∴抛物线C2的标准方程为y2＝8x；‎ ‎(2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,直线l1方程为y＝k（x﹣1）,则另一条直线l2的方程为y（x﹣1）,‎ 联立得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，△＝32k2+64＞0，设直线l1与抛物线C2的交点为A，B，‎ 则则|AB||x2﹣x1|，‎ 同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D，‎ 则|CD|4．‎ ‎∴四边形的面积S|AB|•|CD|4．‎ ‎，‎ 令t2，则t≥4（当且仅当k＝±1时等号成立），．‎ ‎∴当两直线的斜率分别为1和﹣1时，四边形的面积最小，最小值为96‎ ‎21．（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎ ‎22.（1）∵椭圆E：（a＞b＞0）经过点P（）‎ 且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则b＝c，a2＝b2+c2＝2b2，‎ ‎∴，解得a2＝2，b2＝1，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）证明：设直线AB的方程为x＝my+1，m≠0，‎ 则直线CD的方程为xy+1，‎ 联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2，‎ ‎∴x1+x2＝（my1+1）+（my2+1）＝m（y1+y2）+2，‎ 由中点坐标公式得M（，），N（，），‎ kMN，‎ 直线MN的方程为y（x），‎ 即为y（x﹣1），令x﹣1=0，可得x，即有y＝0，‎ 则直线MN过定点R，且为R（，0），‎ ‎（3）方法一：△F2MN面积为S|F2H|•|yM﹣yN|，‎ ‎（1）•||||||‎ 令mt（t≥2），由于2t的导数为2，且大于0，即有在[2，+∞）递增．‎ 即有S••在[2，+∞）递减，‎ ‎∴当t＝2，即m＝1时，S取得最大值，为；‎ 则△MNF2面积的最大值为 方法二：|MF2|，|NF2|，‎ 则△MNF2面积S|MF2|×|NF2|，令mt（t≥2），则S，当且仅当t＝2即m＝1时，△MNF2面积的最大值为．‎ ‎∴△MNF2面积的最大值为．‎