吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

长春市实验中学 ‎2018-2019学年下学期期末考试 高二数学试卷（理科）‎ 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理得到，根据模长的运算可求得结果.‎ ‎【详解】由得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.‎ ‎2.名学生在一次数学考试中的成绩分别为如，，，…，，要研究这名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（ ）‎ A. 频率 B. 平均数 C. 独立性检验 D. 方差 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：直接根据频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义判断即可.‎ 详解：因为频率表示可能性大小，错；平均数表示平均水平的高低，错；独立性检验主要指两个变量相关的可能性大小，错；方差表示分散与集中程度以及波动性的大小， 对，故选D.‎ 点睛：本题主要考查频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义，属于简单题.‎ ‎3.某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先排美国人和俄国人，方法数有种，剩下人任意排有种，故共有种不通过的站法.‎ ‎4.某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ A. -10 B. 0 C. 10 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得的值，得到，求得线性回归方程，令求得的值，由此可求解结论.‎ ‎【详解】由题意，根据表格中的数据，‎ 可得，‎ 所以，所以，‎ 取，得，‎ 所以随机误差的效应（残差）为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A. B. C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ ‎∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎6.用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A 考点：数学归纳法 ‎7.函数的极大值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 令，即，解得或，‎ 令，即，解得，‎ 即函数在上函数单调递增，在上函数单调递减，‎ 所以当时，函数取得极大值，极大值，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可知，‎ 利用条件概率的计算公式，可得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（ ）‎ A. 55 B. 89 C. 120 D. 144‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可知，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.设，则二项式展开式的所有项系数和为（ ）‎ A. 1 B. 32 C. 243 D. 1024‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分求得，得出二项式，再令，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 所以二项式为，‎ 令，可得二项式展开式的所有项系数和为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C．‎ 考点：分类加法原理与分步乘法原理．‎ ‎【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．‎ ‎12.函数（，是自然对数的底数，‎ ‎）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，‎ 因为，‎ 所以函数与函数唯一交点为，‎ 又因为，且，‎ 所以，即函数在上单调递减函数，‎ 又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，‎ 所以可得与函数的大致图象，如图所示，‎ 所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，‎ 则，‎ 因为，则，，‎ 所以，解得，‎ 又因为，所以实数的范围为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题．‎ ‎13.若随机变量，已知，则_____．‎ ‎【答案】0.363‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量服从正态分布，根据曲线的对称性，得到的值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以图象关于对称， ‎ 因为，‎ 根据曲线的对称性，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为 ‎，外接球表面积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.‎ 详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.‎ ‎15.某个游戏中，一个珠子按如图所示通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是，二项分布的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，‎ 可得从顶点到3总共有种走法，‎ 其中每一岔口走法概率都是，‎ 所以珠子从出口3出来的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定的最大值.‎ ‎【详解】令 当时，，不满足条件；‎ 当时，，‎ 当时当时 因此，‎ 从而 令 再令 所以当时；‎ 当时；‎ 即，从而的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为R，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式可得，从而得或，进而可得解.‎ ‎【详解】（1）当时，原不等式可化为 ‎ 解得 所以不等式的解集为 ‎ ‎（2）由题意可得, 当时取等号. ‎ 或， 即或 ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把的参数方程化为极坐标方程：‎ ‎(2)求与交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）与交点的极坐标为，和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；‎ ‎（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.‎ ‎【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . 的参数方程化为极坐标方程为；‎ ‎(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.‎ ‎19.2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．‎ ‎（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎10‎ 女生 ‎25‎ 总计 附参考公式及数据：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为选择科目与性别有关．（2）分布列见解析；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据分层抽样，求得抽到男生、女生人数，得到的列联表，求得的值，即可得到结论；‎ ‎（2）求得这4名女生中选择地理的人数可为，求得相应的概率，得到分布列，利用期望的公式计算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，抽取到男生人数为，女生人数为，‎ 所以列联表为：‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 所以，‎ 所以有的把握认为选择科目与性别有关．‎ ‎（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为． ‎ 设事件发生概率为，‎ 则，，，，．‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望．‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，得出随机变量的取值，求得相应的概率，得出分布列，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎20.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将变换公式代入得，即可曲线C的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）将直线l0的参数方程代入曲线C的方程整理得，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解的值.‎ ‎【详解】（1）将代入得，曲线C的方程为，‎ 由，得，‎ 把，代入上式得直线l直角坐标方程为. ‎ ‎（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，‎ 则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）‎ 代入曲线C的方程整理得，‎ 设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，‎ 则，且，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．‎ ‎(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；‎ ‎(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．‎ ‎(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；‎ ‎(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？‎ ‎【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；‎ ‎ (ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，‎ ‎∴，‎ 由，得.‎ 且当时，；当时，.‎ ‎∴的最大值点.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，‎ ‎(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，‎ ‎∴.‎ ‎(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，‎ 由，得，且，‎ ‎∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的两个零点分别为，且，求证：函数的图像在处的切线的斜率恒小于.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数的图像在处的切线的斜率，再根据零点将斜率转化为积的形式，利用导数研究因子单调性，进而根据最值确定符号即得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以当时，，所以增区间，减区间 当时，，所以增区间，减区间；‎ 当时，，所以增区间，无减区间 当时，，所以增区间，减区间 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 因此函数的图像在处的切线的斜率为 因为函数的两个零点分别为，‎ 所以 即，‎ 所以 令，则 所以，从而.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题.‎ ‎ ‎