2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷(全国Ⅱ卷)数学(理)参考答案与评分标准

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2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷(全国Ⅱ卷)数学(理)参考答案与评分标准

高三训练试题(理科数学)参考答案与评分标准 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。‎ ‎1.【解答】选D.‎ ‎【命题意图】本题考查复数的概念及运算,考查运算求解能力,数学运算素养.‎ ‎2. 【解答】选A.∵‎ ‎【命题意图】考查解不等式及集合的运算,考查抽象概括、运算求解能力.‎ ‎3.【解答】选A.由表中的数据分析变量与的变化规律,结合所给四个函数的图象和性质,可知:与存在正相关关系,排除B;又随着增大,加速增长,故排除C,D.【命题意图】本题考查函数的性质及应用、变量间的相关关系、回归分析。考查抽象概括能力、数据处理能力。‎ ‎4. 【解答】选B.,→→ ,输出,,故选B.‎ ‎【命题意图】以数学文化为背景,考查算法及程序框图,抽象概括能力、应用意识.‎ ‎5.【解答】选C.由可得:,所以.向量在上的投影为. ‎ ‎【命题意图】考查向量的数量积,考查基础知识,抽象概括、运算求解能力,数学运算素养.‎ ‎6. 【解答】B.作可行域如右图,表示可行域内动点到直线距离的倍,如图在处, ‎ ‎【命题意图】考查不等式、线性规划等知识,数形结合、运算求解的能力,直观想象及数学运算的素养.‎ ‎7.【解答】选C. ①真,原方程表示双曲线的充要条件是,; ②假, 对任意的x∈R,均有x2+x+1≤0”;④假,还有可能;C正确.‎ ‎【命题意图】考查双曲线的标准方程、简易逻辑线性回归、空间平行关系等知识,考查推理论证能力及逻辑推理的素养.‎ ‎8.【解答】选C 若m∥n,则(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,由正弦定理可得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,化为a2+c2-b2=-ac,∴cos B==-.∵B∈(0,π),∴B=,故选C.‎ ‎【命题意图】考查向量运算、解三角形(正余弦定理).考查数学运算、逻辑推理的素养.‎ ‎9. 【解答】选D. D选项的随机事件概率应为.‎ ‎(第 8页 /共 8页)‎ ‎【命题意图】以统计图表形式,考查随机事件的概率、古典概型、条件概率,考查学生的数学语言转化能力;考查数形结合思想、统计概率思想;数学直观、数学建模、数据分析的素养。‎ ‎10. 【解答】选A.为非奇非偶函数,排除C;,排除B;又 且无渐近线,排除D;答案为A.也用导数判断函数性质推断.‎ ‎【命题意图】考查函数的图象,考查探究能力、数形结合思想,直观想象、数学抽象素养.‎ ‎11. 【解答】选B.将正四面体ABCD补形成正方体可得,正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.由正四面体ABCD的棱长为4,可知正方体的棱长为,可得外接球半径R满足,解得R= .过E作其外接球的截面,当截面到球心O的距离最大时,截面圆的面积达最小值,此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半,可得截面圆的半径为,得到截面圆的面积最小值为 ‎ ‎【命题意图】考查空间几何体与球的切接问题,考查空间想象能力、运算求解能力,考查数学模型思想,直观想象、数学运算素养.‎ ‎12. 【解答】选B.为周期是2的偶函数, 当时, ‎ ‎①当时,与有两个公共点;‎ ‎②当与相切时,.‎ 当时,与有两个公共点;‎ 由图象知,当即时,直线与有三个公共点;结合周期T=2知,.故选B.‎ ‎【命题意图】考查函数的图象与性质(奇偶性、周期性、分段函数等)的应用、考查函数与方程、数形结合的思想,直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.【解答】只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于 ‎【命题意图】考查二项式定理,考查运算求解能力.‎ ‎14.【解答】当即时取最大值,所以,‎ ‎【命题意图】考查三角恒等变形,考查运算求解能力、转化与化归思想,数学运算素养。‎ ‎15. 【解答】如图,当时,弦AB可以经过焦点F,作A、B在准线上的射 ‎(第 8页 /共 8页)‎ 影,则 ,‎ ‎ (当AB过焦点F时取到等号);故 ‎②当时,AB平行于轴时距离最小, ‎ 综上 ‎【命题意图】考查用抛物线的定义求最值,考查抽象概括、运算求解能力,分类讨论、数形结合思想;考查数学建模、数学运算的素养.‎ ‎16.【解答】①②③⑤‎ 对于①:过A作BD1的垂面ACD1,交面BCC1B1于直线BC1,故动点P的轨迹为线段BC1,故①正确;‎ 对于②:点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面BCC1B1的交线,即为一段圆弧,故②正确;‎ 对于③:点P在以A C1为轴、AM为母线的圆锥面与面BCC1B1的交线,而AM//面BCC1B1,故点P的轨迹为一段抛物线;故③正确;‎ 对于④:作PE⊥BC,EF⊥AD,连接PF,则PF⊥CC1;作PQ⊥CC1.由,‎ 在面BCC1B1内,以C为原点、以直线CB、CC1为轴建立平面直角坐标系,设P,则,化简得,,P点轨迹所在曲线是一段双曲线.‎ 故④错误。‎ 对于⑤:点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1,故点P的轨迹为以点C1、直线BC为对应准线的双曲线,故⑤正确;‎ 故答案为①②③⑤‎ ‎【命题意图】本题考查空间的点、线、面的位置关系、圆锥曲线的定义、交轨法、解析法等,考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力、探究能力,考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养。‎ 三、解答题:共70分。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)解:(1)∵点在直线上,所以 ①‎ 当时, ......2分 当时, ②‎ ‎①-②,得 ......4分 所以数列为首项为1,公比为2的等比数列. ......6分 ‎(2) ......7分 ‎(第 8页 /共 8页)‎ ‎ ③‎ ‎ ④ ......9分 ‎③-④,得 ‎ ‎ ‎ 所以 ......12分 ‎【考点】数列的通项与前n项和、等比数列的定义;向量的数量积;错位相减法求和. (1)根据表达式得到,从而得到数列满足,故得到结论; (2)根据向量数量积的定义得到,错位相减得到前n项和。‎ ‎【命题意图】考查向量的数量积、数列的通项与前n项和、等比数列的概念、数列求和的错位相减法.考查运算求解能力、转化与化归的思想、数学运算的核心素养.‎ ‎18.(12分)解:(1)这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ‎ ……2分 ‎ 4分 ‎(2)(i)由(1)知,,‎ 从而; (0.3414也可给分)7分 ‎(ii)根据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在内有3人,在内有4人,故可能的取值为0,1,2,3‎ ‎,,‎ 所以的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……11分 所以Y的数学期望为 ……12分 ‎【命题意图】本题考查统计抽样、频率分布直方图、正态分布、超几何分布,考查数据处理、运算求解能力、识图能力,考查数据分析、数学建模、数学运算素养.‎ ‎19. (12分) 解:(1)由条件知 ………………2分 ‎ ‎ ‎ ……4分 ‎(第 8页 /共 8页)‎ ‎ ………………5分 ‎(2)以D为原点,为轴的非负方向建立空间直角坐标系. ,‎ ‎ ………………6分 设平面的法向量为 ‎ 由 得,‎ 取,则 ‎ ‎ ………………8分 由(1)知,平面FDM的法向量为 ………………9分 由题意, …………10分 解得 ……………12分 ‎【解法2】由(1)知,二面角为直二面角,‎ 即二面角与互余.由题意知,二面角的正弦值为 从而正切值为 ‎ 在面DCEF内过N作NG⊥DC,垂足为G;在面AC内作GH⊥DM,垂足为H,连结NH.‎ 则∠NHG为二面角的平面角. ……………8分 ‎ ……………10分 在Rt△NHG中,由,解得 ……………12分 ‎【命题意图】本题考查三视图、线面垂直、面面垂直的判定与性质、用空间向量求二面角等,考查化归转化、运算求解、推理论证与表达能力,考查直观想象、逻辑推理、数学运算素养.‎ ‎20.(12分)【解】(1)证明:设直线与曲线的交点为 ‎ ∴ 即:‎ ‎∴ 在上 ‎∴,‎ ‎∴两式相减得: ∴ 即: ‎ ‎(第 8页 /共 8页)‎ ‎∴曲线是一个圆 ………………5分 证法2:设直线与曲线的交点为 ‎ ∴,‎ ‎∴‎ 由得,, ‎ ‎ ,∴,∴曲线是一个圆. ………………5分 ‎ (2)由题意知,椭圆C的方程为 ………………6分 假设存在点 ,设交点为,‎ 由得,‎ ‎ ………………8分 直线恒过椭圆内定点(0,1),故 恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………10分 当时,即时 ‎ 故存在定点,不论k为何值,为定值. ………………12分 ‎【命题意图】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查逻辑推理能力、运算求解能力、‎ ‎(第 8页 /共 8页)‎ 化归转化能力及方程思想的应用,考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养。‎ ‎21.(12分) 解:(1)‎ 令,则 ………………1分 ‎①当,即时,, ‎ 单调递增,即 在上单调递增. 符合题意. ………3分 ‎②当即时,令得, ‎ 在上,单调递减;‎ 当时,有 即 所以在区间 上为减函数,不合题意. ………5分 综上,实数的取值范围为 ………………6分 ‎(2)证明:时, ‎ 由(1)得,时,…………8分 又 只需证明 ………………10分 令 则 所以在上单调递增, ………………12分 原不等式得证. 【命题意图】考查函数的单调性、不等式的证明,考查推理论证、化归转化、运算求解能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养.‎ ‎(二)选考题:共10分。‎ ‎22.解:(1)消去参数,得曲线的直角坐标方程为,即 ‎ 把 代入得,曲线的直角坐标方程为.‎ ‎………………5分 ‎(2)圆心到直线AB的距离为 ‎ 圆上动点P到弦AB的距离的最大值为 ‎ ‎(第 8页 /共 8页)‎ 解法1:弦长 ‎∴的面积的最大值为 ………10分 解法2:设圆上动点,P到直线的距离 ‎ ‎ 化的参数方程为代入得, ‎ 设交点A、B对应的参数分别为 ,则 ‎ 则 ‎ ‎∴的面积的最大值为 ‎ ‎【命题意图】本题考查目标:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的互化,直线与圆的位置关系、用几何法或直线参数方程的几何意义、“设而不求”计算、最值问题的求解,主要考查学生的运算求解能力,数学运算、逻辑推理、直观想象素养.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎(1)的几何意义是数轴上实数到3,-6两点的距离之和,时,.故原不等式的解集为 …………5分 ‎(2)由(1)知,正实数 ‎ …………8分 ‎(当且仅当时取等号)‎ 故的最小值为4. ………………10分 ‎【命题意图】绝对值的不等式的解法、柯西不等式在求最值中的应用.考查运算求解、化归转化能力,数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养。‎ ‎(第 8页 /共 8页)‎
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