高考数学一轮复习练案25第三章三角函数解三角形第六讲正弦定理余弦定理含解析

高考数学一轮复习练案25第三章三角函数解三角形第六讲正弦定理余弦定理含解析

‎ [练案25]第六讲　正弦定理、余弦定理 A组基础巩固 一、单择题 ‎1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.‎ ‎2．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　D　)‎ A．2　 B．1　‎ C．　 D． ‎[解析]　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.‎ ‎3．已知△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，则a︰b︰c＝(　A　)‎ A．1︰1︰　　 B．2︰2︰ C．1︰1︰2　　 D．1︰1︰4‎ ‎[解析]　△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，所以A＝，B＝，C＝π，a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C＝︰︰＝1︰1︰.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.‎ ‎5．(2020·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a - 7 -‎ ‎＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(　B　)‎ A．A＝30°，B＝45°　　 B．C＝75°，A＝45°‎ C．B＝60°，c＝3　　 D．c＝1，cos C＝ ‎[解析]　由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　C　)‎ A．直角三角形　　 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形　　 D．钝角三角形 ‎[解析]　∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝.∴△ABC是等边三角形，故选C.‎ 二、多选题 ‎7．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是(　ACD　)‎ A．B＝90°　　 B．C＝120°‎ C．c＝4　　 D．C＝60°‎ ‎[解析]　∵＝，∴sinB＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4.故选A、C、D.‎ ‎8．(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是(　ACD　)‎ A．在△ABC中，a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C B．在△ABC中，若sin ‎2A＝sin 2B，则A＝B C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B D．在△ABC中，＝ ‎[解析]　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C，故A正确；对于B，若sin ‎2A＝sin 2B，则‎2A＝2B或 - 7 -‎ ‎2A‎＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sin A>sin B，根据正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得sin A>sin B，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.‎ 三、填空题 ‎9．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝__1__.‎ ‎[解析]　∵sin B＝且B∈(0，π)，∴B＝或，‎ 又C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝.‎ 又a＝，由＝，得＝，∴b＝1.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝__2__‎ ‎[解析]　解法一：由正弦定理sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，‎ 即sin (B＋C)＝sin A＝2sin B，有＝＝2.‎ 解法二：由余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，因此，＝2.‎ 解法三：由三角形射影定理，知bcos C＋ccos B＝a，所以a＝2b，所以＝2.故填2.‎ ‎11．(2017·浙江节选)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是　　.‎ ‎[解析]　取BC中点E，由题意，AE⊥BC.‎ ‎△ABE中，cos ∠ABC＝＝，‎ 所以cos ∠DBC＝－，‎ - 7 -‎ sin ∠DBC＝＝，‎ 所以S△BCD＝×BD×BC×sin ∠DBC＝.‎ 故填.‎ ‎12．(2019·浙江)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝　　，cos ∠ABD＝　　.‎ ‎[解析]　在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin ∠BCD＝×＝，sin ∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin (∠BCD＋∠BDC)＝sin ∠BCDcos ∠BDC＋cos ∠BCD·sin ∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos ∠ABD＝sin ∠DBC＝.‎ 三、解答题 ‎13．(2019·北京)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)求sin (B＋C)的值．‎ ‎[解析]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×(－)．‎ 因为b＝c＋2，‎ 所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×(－)．‎ 解得c＝5.‎ 所以b＝7.‎ ‎(2)由cos B＝－得sin B＝.‎ 由正弦定理得sin A＝sin B＝.‎ 在△ABC中，B＋C＝π－A.‎ 所以sin (B＋C)＝sin A＝.‎ ‎14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2‎ - 7 -‎ ‎＝sin‎2A－sin Bsin C.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＋b＝‎2c，求sin C.‎ ‎[解析]　由已知得sin2B＋sin‎2C－sin‎2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.‎ 由余弦定理得cos A＝＝.‎ 因为0°0)，则c＝3k.由余弦定理，得cos C＝＝＝－，解得k＝3或k＝－(舍去)，从而a＝6.故选C.‎ ‎2．(2020·四川成都七中一诊)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)·(sin A－sin C)，则A＝(　C　)‎ A．30°　 B．60°　‎ C．120°　 D．150°‎ ‎[解析]　依题意，知(b＋c)sin B＝(a＋c)(sin A－sin C)，由正弦定理，得(b＋c)b＝(a＋c)·(a－c)，即b2＋c2－a2＝－bc.由余弦定理，得cos A＝＝＝－，所以A＝120°.故选C.‎ ‎3．(2020·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝1，则C＝(　B　)‎ - 7 -‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由正弦定理及＋＝1，得＋＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.故选B.‎ ‎4．(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　B　)‎ A．等边三角形　　 B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形　　 D．钝角三角形 ‎[解析]　由2acos B＝c及正弦定理，得2sin Acos B＝sin C．在△ABC中，因为sin C＝sin (A＋B)，所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，整理得sin (A－B)＝0，又A，B∈(0，π)，所以A＝B.因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，所以sin Asin B[2－(1－2sin2)]＝sin2＋，即sin Asin B(1＋2sin2)＝(1＋2sin2)，所以sin Asin B＝.又A＝B，且A，B∈(0，π)，所以A＝B＝，所以C＝π－A－B＝，所以△ABC是等腰直角三角形．故选B.‎ ‎5．(2019·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a＝‎3c，b＝，cos B＝，求c的值；‎ ‎(2)若＝，求sin (B＋)的值．‎ ‎[解析]　(1)因为a＝‎3c，b＝，cos B＝，‎ 由余弦定理cos B＝，‎ 得＝，即c2＝.‎ 所以c＝.‎ ‎(2)因为＝，‎ 由正弦定理＝，得＝，‎ 所以cos B＝2sin B.‎ - 7 -‎ 从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，‎ 故cos2B＝.‎ 因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.‎ 因此sin (B＋)＝cos B＝.‎ - 7 -‎