2013江苏卷（文理共用）数学试题

2013江苏卷（文理共用）数学试题

‎2013·江苏卷(数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 函数y＝3sin的最小正周期为________．‎ ‎1．π　[解析] 周期为T＝＝π.‎ ‎2． 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．‎ ‎2．5　[解析] 因为z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数z的模为5.‎ ‎3． 双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．‎ ‎3．y＝±x　[解析] 令－＝0，得渐近线方程为y＝±x.‎ ‎4． 集合{－1，0，1}共有________个子集．‎ ‎4．8　[解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.‎ ‎5． 如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．‎ 图1－1‎ ‎5．3　[解析] 逐一代入可得 n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ a ‎2‎ ‎8‎ ‎26‎ a<20‎ Y Y N 当a＝26>20时，n＝3，故最后输出3.‎ ‎6． 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．‎ ‎6．2　[解析] 由题知x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s＝(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s＝(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s>s，故答案为2.‎ ‎7． 现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．‎ ‎7.　[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.‎ ‎8． 如图1－1，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．‎ 图1－1‎ ‎8．1∶24　[解析] 设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2＝Sh，又D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，所以S△AED＝S，且三棱锥F－ADE的高为h，故V1＝S△AED·h＝·S·h＝Sh，所以V1∶V2＝1∶24.‎ ‎9． 抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．‎ ‎9.　[解析] 由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B.‎ 作直线l0：x＋2y＝0.‎ 当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；‎ 当平移直线l0至点B时，zmax＝＋2×0＝.‎ 故x＋2y的取值范围是.‎ ‎10． 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎10.　[解析] 如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝＋，‎ 又＝λ1＋λ2，且与不共线，‎ 所以λ1＝－，λ2＝，‎ 即λ1＋λ2＝.‎ ‎11． 已知f(x)是定义在上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．‎ ‎11．(－5，0)∪(5，＋∞)　[解析] 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．‎ 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于 或 解得x>5或－50，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．‎ ‎12.　[解析] 由题意知F(c，0)，l：x＝，不妨设B(0，b)，则直线BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.‎ 于是d1＝＝，‎ d2＝－c＝＝.‎ 由d2＝d1，得＝6，‎ 化简得6c4＋a2c2－a4＝0，‎ 即6e4＋e2－1＝0，‎ 解得e2＝或e2＝－(舍去)，‎ 故e＝，故椭圆C的离心率为.‎ ‎13． 在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________．‎ ‎13．－1，　[解析] 由题意知，若a<0，则a＝－1满足题意；若a>0，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与y＝(x>0)相切．联立方程，消去y得 x2－2ax＋a2＋－＋a2＝8，‎ 即－2a＋2a2－10＝0.‎ 令Δ＝0得(2a)2－4(2a2－10)＝0.(*)‎ 解得a＝.‎ 此时方程(*)的解为x＝，满足题意．‎ 综上，实数a的所有值为－1，.‎ ‎14． 在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3. 则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．‎ ‎14．12　[解析] 设{an}的公比为q.由a5＝及a5(q＋q2)＝3得q＝2，所以a1＝，所以a6＝1，a1a2…a11＝a＝1，此时a1＋a2＋…＋a11>1.又a1＋a2＋…＋a12＝27－，a1a2…a12＝26<27－，所以a1a2…a12>a1a2…a12，但a1＋a2＋…＋a13＝28－，a1a2…a13＝26·27＝25·28>28－，所以a1＋a2＋…＋a13β，所以α＝，β＝.‎ ‎16．， 如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．‎ 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ 图1－2‎ ‎16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，‎ 又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，‎ 所以AF⊥平面SBC.‎ 因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.‎ ‎17． 如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ 图1－3‎ ‎17．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.‎ 由题意，＝1，解得k＝0或－，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为 ‎(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，‎ 所以＝2 ，‎ 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，‎ 则|2－1|≤CD≤2＋1，‎ 即1≤≤3.‎ 由5a2－12a＋8≥0，得a∈；‎ 由5a2－12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.‎ ‎18． 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 图1－4‎ ‎18．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝，‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]‎ ‎＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．‎ 因为0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由正弦定理＝，得 BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，‎ 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎19． 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈*，其中c为实数．‎ ‎(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈*)；‎ ‎(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.‎ ‎19．解：由题设，Sn＝na＋d.‎ ‎(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，‎ 即＝a，‎ 化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.‎ 因此，对于所有的m∈，有Sm＝m2a.‎ 从而对于所有的k，n∈，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.‎ ‎(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈，‎ 代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈，有 n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．‎ 令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈，有 An3＋Bn2＋cd1n＝D(*)．‎ 在(*)式中分别取n＝1，2，3，4，得 A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，‎ 从而有 由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.‎ 即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.‎ 若d1＝0，则由d1－d＝0得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.‎ 又因为cd1＝0，所以c＝0.‎ ‎20． 设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．‎ ‎(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；‎ ‎(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎20．解：(1)令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1) 上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当xln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.‎ 综上，有a∈(e，＋∞)．‎ ‎(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝ex－a>0，‎ 解得aln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即00，得f(x)存在唯一的零点；‎ ‎(ii)当a<0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[ea，1]上的图像不间断，所以f(x)在(ea，1)上存在零点．‎ 另外，当x>0时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．‎ ‎(iii)当00，当x>a－1时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.‎ ‎①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.‎ ‎②当－ln a－1>0，即00，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图像不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．‎ 另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．‎ 下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况，先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)<0，为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2，设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.‎ 当x>1时，l′(x)＝ex－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ‎>2时，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，‎ 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0，‎ 即当x>e时，ex>x2.‎ 当0e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)<0，‎ 又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，ea－1]上的图像不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．‎ 又当x>a－1时，f′(x)＝－a<0，‎ 故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．‎ 综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，‎ 当00，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0.‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎22． 如图1－2所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．‎ 图1－2‎ ‎22．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，‎ C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．‎ 因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ADC1的法向量为1＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以·＝0，·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.‎ 由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.‎ 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.‎ ‎23． 设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k个…，即当

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