2019-2020学年重庆市南岸区高一上学期期末学业质量调研抽测数学试题

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绝密★启用前 重庆市南岸区2019-2020学年高一上学期期末学业质量调研抽测数学试题 ‎（分数：150分 时间：120分钟）‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题 1. 已知集合，集合，则    ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ 4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. 8 D. 4‎ 1. 已知，，，，P为外接圆上的一动点，且的最大值是 A. B. C. D. ‎ 2. 将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质    ‎ A. 在上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线对称 C. 在上单调递增，为奇函数 D. 周期为，图象关于点对称 3. 九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步”请问乙走的步数是  ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是 A. B. C. D. ‎ 5. 已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ 1. 定义在R上的函数满足：，且当时，，则函数的零点个数是 A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ 2. 已知圆的圆心为C，点P是直线l：上的点，若该圆上存在点Q使得，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 3. 不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作已知，给出下列结论： 是偶函数； 是周期函数，且最小值周期为； 的单调递减区间为； 的值域为． 其中正确的个数为 A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 二、填空题 4. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为若直线上存在一点P使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是          ．‎ 5. 如图，在平面四边形ABCD中，，，若，则的值为______． ‎ 6. 若，，且，则使得取得最小值的实数______．‎ 7. 如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为‎25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得，沿山坡前进‎50m到达B处，又测得，根据以上数据可得 ‎______． ‎ 三、解答题 1. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．求角A的大小； 若，求的面积． ‎ 2. 已知等比数列的各项均为正数，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设证明：为等差数列，并求的前n项和． ‎ 3. 如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F． 若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； 设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．‎ 4. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，，． 求证：平面BCD； 求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小； 求点E到平面ACD的距离．‎ ‎ ‎ 1. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表．其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于‎9米的弧田． ‎ Ⅰ计算弧田的实际面积；‎ Ⅱ按照九章算术中的弧田面积的经验公式计算所得结果与中计算的弧田实际面积相差多少平方米？结果保留两位小数 ‎ 2. 已知四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，点E是棱AD的中点，点F在棱 SC上，且，平面BEF．Ⅰ求实数的值；Ⅱ求三棱锥的体积． ‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题． 根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得． 【解答】 解：因为， ， 则． 故选A． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题． 先求出函数的定义域，再分别讨论，时函数的范围，由此判断函数的图象即可． 【解答】 解：函数的定义域为：，排除选项A． 当时，函数，选项C 不满足题意． 当时，函数，选项D不正确， 故选B． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 将a，b化为同底数的幂，利用指数函数的单调性判定大小，a，c利用中间值2，结合指数、对数函数的性质比较大小，然后利用不等式的基本性质可知道a，b，c的大小关系． 【解答】 解：由对数函数是单调增函数， ，， 指数函数是单调增函数，， ，即， ． 故选C． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查了棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，底面是直角三角形，高为2，利用棱锥体积公式即可计算．‎ ‎【解答】‎ 解：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，如图： ‎ ‎ 底面是边长为2的正方形的一半，高为2， 该几何体的体积． 故选B．‎ ‎ 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为，求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案 本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题． 【解答】 解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的方程为 ‎， 设P的坐标为， 过点B作BD垂直x轴， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ，其中，， 当时，有最大值，最大值为， 故选：B． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答． 【解答】 解：将的图象向右平移个单位，得，则为偶函数，在上单调递增，故A正确， ‎ 的最大值为1，对称轴为，，即，，当，图象关于对称，故B错误， 由，，函数单调递增，，，在上不是单调函数，故C错误， 函数的周期，不关于点对称，故D错误． 故选A． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题． 设甲、乙相遇经过的时间为x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x，即可求出答案． 【解答】 解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图： 则，，， ，， 即， 解得或舍去， ， 故选：C． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，定义在R上的函数满足， 则有，则函数是周期为6的周期函数， 又由为偶函数，则函数关于直线对称， 则，，， 又由在内单调递减，则， 则有； 故选：B． 根据题意，由分析可得，则可得函数是周期为6的周期函数，由为偶函数，则函数关于直线对称，则有，，，结合函数的单调性分析可得答案． 本题考查函数的单调性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为命题p对任意，总有，根据指数函数的性质判断是真命题； 命题q：“”不能推出“”；但是“”能推出“”所以：“”是“”的必要不充分条件，故q是假命题； 所以为真命题； 故选：D． 由命题p，找到x的范围是，判断p为真命题．而q：“”是“”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答． 判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：定义在R上的函数满足：，且当时，， 当时，， 当时，‎ ‎， 当时，， 在坐标系中画出两个函数与的图象如图： 由图象可知两图象有5个交点，故函数有5个零点， 故选A． 求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时． 圆上存在点Q使得， 圆心到直线的距离， ， 故选：D． 由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时，利用圆上存在点Q使得，可得圆心到直线的距离，进而得出答案． 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题． ‎ ‎12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对于，，， 显然，不是偶函数，故错误； 对于，，而， ，即不是周期为的函数，故错误； 对于，当时，， 令，则在区间单调递增，且， 又在上单调递减， 在单调递减，故正确； 对于，，取不到值cos1，且的最大值为1． 故错误． 故选：B． 通过计算特殊值验证判断，；利用符合函数的单调性判断，根据的范围和余弦函数的性质判断． 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象，是中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：的方程为，故圆心为，半径． 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有， 圆心到直线的距离小于或等于， 即，解得，可得， 故答案为： 由题意可得圆心为，半径；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线的距离小于或等于， 即，由此求得k的范围． 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M， 设，则，， ． ∽， ， ， ，， ． 故答案为：． 过D作，则∽，利用相似比表示出x，y即可得出结论． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，，且， ， 那么： ， 当且仅当时即取等号． 联立， 解得：． 故答案为：． 构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，，， 在中，由正弦定理得：，， 在中，，，，由正弦定理，， ，． 故答案为：． 先在中用正弦定理求得BD，再在中用正弦定理求得，然后根据可求得． 本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题． 17.【答案】解：，，， ， 由余弦定理得，可得， 又，． 根据正弦定理得， 又， ． ‎ ‎【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用余弦定理即可得出． 根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出． 18.【答案】Ⅰ解：设等比数列的公比为q，依题意 ， ，， ，， 两式相除得 ‎ ‎， 解得 ，舍去， ， 数列的通项公式为 ；Ⅱ证明：由Ⅰ得 ， ， 数列是首项为1，公差为的等差数列， ． ‎ ‎【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键，属于中档题．Ⅰ利用等比数列的通项公式即可得出；Ⅱ利用Ⅰ的结论和对数的运算法则进行化简，再计算是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可． 19.【答案】解：由题意，，， 中，，， 中，由余弦定理可得； 由题意，，． 中， 中，由正弦定理可得， ，， ， ‎ ‎【解析】由题意，，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离； 中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． ‎ ‎20.【答案】解：连接OC，，，， ，，， 在中，由题设知 ，，， ， ，即， ，， 平面BCD；             取AC中点F，连接OF、OE、E 中E、F分别为BC、AC中点 ，且 中分别为中点 且 异面直线AB与CD所成角等于或其补角 又OF是斜边上的中线 等腰中；         解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，，0，，． ，， 异面直线AB与CD所成角的大小为． 解：设平面ACD的法向量为y， 则， 令，得1，是平面ACD的一个法向量． 又， 点E到平面ACD的距离． ‎ ‎【解析】如图所示，要证平面BCD，只需证，即可，用运算的方式来证明结论． 法一：取AC中点F，连接，由中位线定理可得，所以或其补角是异面直线AB与CD所成角，然后在中求解．法二：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可； 求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可． 本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题． 21.【答案】解：扇形半径， 扇形面积等于 弧田面积 圆心到弦的距离等于，所以矢长为． 按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少平方米． ‎ ‎【解析】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题． 利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积； 按照上述弧田面积经验公式计算得弦矢矢，从而可求误差． 22.【答案】解：Ⅰ连接AC，设，则平面平面， 平面EFB，， ，， ‎ ‎， 解得．Ⅱ，，， 又，，， ，， 平面ABCD， 所以． ‎ ‎【解析】Ⅰ连接AC，设，推导出，从而，由此能求出．Ⅱ由，能求出三棱锥的体积． 本题考查实数值的求法，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题． ‎