四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题

四川省叙州区第一中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则的值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为 ‎ A． B． C．3 D．‎ ‎3．已知向量，，，若与共线，则的值为 ‎ A．4 B．8 C．0 D．2‎ ‎4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是 ‎ A．这10天中，12月5日的空气质量超标 B．这10天中有5天空气质量为二级 C．从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低 D．这10天的PM2.5日均值的中位数是47‎ ‎5．在中，D在边上，且，E为的中点，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量，则，.‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎7．已知，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 ‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎9．已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且．则线段的中点到y轴的距离为 ‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎10．在中，，则为 ‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎11．已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在二项式的展开式中，含的项的系数是___________‎ ‎14．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.‎ ‎15．已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________‎ ‎16．定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）在中，角，、的对边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（II）若，且，求的面积.‎ ‎18．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.‎ ‎（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；‎ ‎（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.‎ ‎①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；‎ ‎②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19．（12分）已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（II）当为的中点， ，与平面所 成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，直线 与椭圆有且只有一个交点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎（II）设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.‎ ‎21．是自然对数的底数，，已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎（II）对于，证明:当时，.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（II）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若，，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，，且，求证：．‎ 四川省叙州区第一中学高2020届第二次高考适应性考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D ‎13．10 14． 15．1 16．‎ ‎17．（1）∵，∴.∵，∴.‎ ‎（2）∵∴，‎ ‎∴，即，即.∵，∴.∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎18．（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.‎ 即重度污染区平均值为172.‎ ‎（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，‎ 由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，‎ 又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.‎ ‎②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且 ‎，，‎ ‎，，‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望 .‎ ‎19．（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，‎ 因为且平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为平面， 平面，且平面平面，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知且，因为，且为的中点，‎ 所以，所以平面，所以与平面所成的角为，‎ 所以，所以，因为，所以． ‎ 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则 ‎，‎ 所以．‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以，‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以， ‎ 记二面角的大小为，则．‎ 所以二面角的余弦值为 ． ‎ ‎20．（I）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，‎ 则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，‎ 所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），‎ ‎（Ⅱ）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），‎ 所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，‎ 则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，‎ y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，‎ 同理|PB|=|﹣x2|，|PA|•|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，‎ 所以=为定值．‎ ‎21．（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以．设，，‎ 则的取值范围转化为函数在上的值域．‎ 因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，‎ 故函数在时，取得最大值，‎ 又上，，所以函数在上的值域为，．当时，，所以函数在上的值域为，.‎ 从而函数有零点时，实数的取值范围为，‎ ‎（2）可以转化为证明两个不等式①，②.设，所以，‎ 当时，，函数在上单调递减，当时，‎ ‎，函数在上单调递增．故函数在时，取得最小值 ‎，所以．得证①‎ 设，有，当时，．函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增．故函数在时，取得最小值．‎ 所以，得．（仅当时取等号）‎ 又由为增函数，得②.合并①②得证．‎ ‎22．（1）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是．‎ 由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程 ‎（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），‎ 代入，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，‎ 所以，‎ 因为原点到直线的距离，所以．‎ ‎23．（Ⅰ）时，或或，‎ 解得，故不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.‎ ‎∵，∴，‎ ‎ 当且仅当时取等．‎ 故．‎