【数学】北京市顺义区2020届高三二模试题（解析版）

【数学】北京市顺义区2020届高三二模试题（解析版）

北京市顺义区2020届高三二模数学试题 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为集合，，所以.‎ 故选：C.‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】，因此复数对应点的坐标为，在第二象限，故本题选B.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，选项B、D中两个函数是非奇非偶函数，不符合题意；‎ 对于选项A，二次函数，既是偶函数，又在区间上为减函数，符合题意；‎ 对于选项C，余弦函数是偶函数，在区间上不是单调函数，不符合题意.‎ 故选：A.‎ ‎4.抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，抛物线的焦点，准线为，设抛物线上的动点，‎ 根据抛物线的定义可知，，‎ 因为，所以，‎ 故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.‎ 故选：C.‎ ‎5.若角终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为角终边经过点，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 12 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥中，底面，，，且，，‎ 所以该三棱锥的体积.‎ 故选：B.‎ ‎7.若为任意角，则满足的一个值为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，即，所以可以为8.‎ 故选：D.‎ ‎8.已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A，是成立的一个充要条件，即选项A不符合题意；‎ 对于选项B，由，可知，则，反之不成立，即选项B是成立的一个充分而不必要条件，即选项B成立；‎ 对于选项C，若，满足，但是不成立，即选项C不符合题意；‎ 对于选项D，由，不能判断的大小关系，即选项D不符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎9.设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，等比数列满足，且公比，‎ 又，所以，‎ 又，所以，解得或，‎ ‎①若，则，则，‎ 因为二次函数，在单调递增，无最大值，所以也无最大值；‎ ‎②若，则，则，‎ 因为二次函数，开口向下，对称轴为，所以或时，取得最大值，此时也取最大值.‎ 所以选项A符合题意.‎ 故选：A.‎ ‎10.已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，当时，；当时，；当时，.‎ 所以，则，‎ 因为，所以区间，且该区间长度为2.‎ 作出函数的图象，如图1，进而可得到在上的图象，如图2，‎ 根据图象可知在区间上的最大值的取值范围是.‎ 故选：D.‎ 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11.已知向量，，若，则实数___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，解得：‎ 故答案为：‎ ‎12.设是等差数列，且，，则的通项公式为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，等差数列中，，所以，公差，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把函数的图象向左平移个单位，‎ 得到的函数是,‎ 故答案为.‎ ‎14.若直线将圆的圆周分成长度之比为1∶3的两段弧，则实数的所有可能取值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，圆的半径为1，周长为，‎ 直线将圆的圆周分成长度之比为1∶3的两段弧，劣弧所对的圆心角为，‎ 设直线与圆的交点为，圆心为，则为直角三角形，且，，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 又，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎15.曲线是平面内到定点和定直线：的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：‎ ‎①曲线关于轴对称；‎ ‎②若点在曲线上，则满足；‎ ‎③若点在曲线上，则.‎ 其中，正确结论的序号是________.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】设动点是曲线上任意一点，则，‎ 即，‎ 当时，，整理得，‎ 当时，，整理得，‎ 作出曲线的图形，如下图，显然①不正确，曲线不关于轴对称；‎ 当时，可得，所以当点在曲线上时，满足成立，即②正确；‎ 令，可得，所以当点在曲线上时，满足，且，又，所以，，即③正确.‎ 故答案为：②③.‎ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.‎ ‎16.已知中，角，，的对边分别为，，，，，________.是否存在以，，为边的三角形？如果存在，求出 的面积；若不存在，说明理由.从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.‎ 解：若选取条件①，此时，‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理，，解得，‎ 则，所以，‎ 所以，又，解得或者，‎ 所以存在以，，为边的三角形，其面积为.‎ 若选取条件②，‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理，，解得，‎ 则，所以，显然不成立，所以不存在以，，为边的三角形.‎ 若选取条件③，得，‎ 由选取条件①可知，当时，存在以，，为边的三角形，其面积为.‎ 由选取条件②可知，当时，不存在以，，为边的三角形.‎ ‎17.如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得二面角成直二面角.，分别为，的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎（1）证明：取的中点，连结，‎ 因为四边形是正方形，所以在三棱锥中，，‎ 因为，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（2）解：因为二面角为直二面角，平面平面，且，，所以，即，所以两两垂直.‎ 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易知，所以，，，，，，，‎ 则，，‎ 显然平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，可得，，所以平面的一个法向量，‎ 则，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎18.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成五组，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎ ‎ ‎（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；‎ ‎（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小.(只需写出结论)‎ 解：（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；‎ ‎（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为，‎ 乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，‎ 从甲班抽到的学生人数可取的值为，‎ 则，，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则的数学期望为：.‎ ‎（3）结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时间更集中，所以.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)‎ 解：（1）当时，，则，‎ 所以，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎（2）由题意，，‎ 因为在区间上单调递增，所以在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 令，，则，‎ 所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，‎ 所以在上最小值为，‎ 所以.‎ ‎（3）当时，方程根的个数为2.‎ 证明如下：‎ 当时，，构造函数，‎ 则，显然在上单调递增，‎ 因为，，所以存在唯一零点，设为，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为，所以，所以在上存在唯一零点 又因为，所以在上存在唯一零点，‎ 故函数有2个零点，即方程根的个数为2.‎ ‎20.已知椭圆焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，.求证：以为直径的圆恒过点.‎ 解：（1）由题意，椭圆中，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，，设直线的方程为，‎ 联立，可得，‎ 显然恒成立，‎ 设，，则，‎ 易知直线的斜率存在，，则直线的方程为，‎ 所以，即，同理可得，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，即以为直径的圆恒过点.‎ ‎21.给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.‎ ‎（1）设数列为2，1，6，3，写出，，的值；‎ ‎（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；‎ ‎（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.‎ 解：（1）由题意，，则；‎ ‎，则；‎ ‎，则.‎ ‎（2）因为是等比数列，公比，且，所以数列是递减数列，‎ 则时，，，所以，且，‎ 所以时，，‎ 所以，即是等比数列.‎ ‎（3）由是公差大于0的等差数列，且，可知.‎ ‎①先用反证法证明是递减数列，‎ 假设不是递减数列，设是第一个使得成立的项，则，，所以，即，与相矛盾，‎ 所以是单调递减数列.‎ ‎②再用反证法证明为数列中的最大项，‎ 假设不是数列的最大项，即存在使得成立，‎ 若时，满足，则，，故，与矛盾，即；‎ 若时，满足，则，，故，与矛盾，‎ 所以为数列中的最大项.‎ 综上，是单调递减数列，且为数列中的最大项，‎ 故，即，‎ 则时，，‎ 故，‎ 所以是等差数列.‎