2017-2018学年四川省资阳中学高二下学期半期考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年四川省资阳中学高二下学期半期考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省资阳中学高二下学期半期考试 理 科 数 学 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若z=4+3i,则=　(　　)‎ A. 1 B. -1 C. +i D. -i ‎2．下列结论正确的是（ ）‎ A. 若 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎3．将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A. B. C. D. ‎ ‎4. 椭圆的左、右焦点分别为，则椭圆上满足的点（ ）‎ A．有2个 B．有4个 C．不一定存在 D．一定不存在 ‎5.=（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎6．已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ ‎7. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设曲线(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为(　　)‎ A． B．－1 C．－1 D．1‎ ‎10．已知可导函数为定义域上的奇函数，当时，有，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C ． D．‎ ‎11.已知函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－1]‎ ‎12．斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 为定值 B. 为定值 C. 点的轨迹为圆的一部分 D. 点的轨迹是圆的一部分 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数，且为的一个极值点，则的值为________.‎ ‎14．已知函数，其中，则不同的二次函数的个数共有 种 ‎ ‎15．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆 上，则________.‎ ‎16．设函数①若，则的最大值为________；②若无最大值，则实数的取值范围是________．‎ 三、 解答题（70分）‎ ‎17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.‎ 18． ‎（12分）设函数过点．（1）求函数的极大值和极小值．‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.（1）若,求直线的方程；‎ ‎（2）线段的垂直平分线与直线轴,轴分别交于点，求 的最小值.‎ ‎20．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若曲线处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；若存在极值点，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）设函数 ‎（1）若关于的不等式在有实数解，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）设，若关于的方程至少有一个解，求 的最小值． ‎ ‎（3）证明不等式： ‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）设，求的单调递增区间；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）证明：时，存在，当时，恒有．‎ 高2016级第四学期文科数学半期试题答案 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 点M的直角坐标（，-1）化成极坐标为（　　）‎ A. （2，） B. （2，） C. （2，） D. （2，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：点M的直角坐标（，-1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴=ρcosθ，-1=ρsinθ，解得：ρ=2，θ=，∴极坐标为（2，），故选D． 根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得极坐标． 本题考查了直角坐标化成极坐标的计算．要牢记x=ρcosθ，y=ρsinθ的关系．比较基础． ‎ 2. 已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（-1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3， ∴椭圆方程为：．故选：A．由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，则椭圆方程可求． 本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解，属于基础题． ‎ 3. 抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．故选：B． 利用已知条件求出A、B的中点的横坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是 ‎4.下列运算正确的是（　　） A B（x2cosx）'=-2xsinx C（3x）'=3xlog3e D 【答案】A ‎【解析】解：B（x2cosx）'=2xcosx-x2sinx； C（3x）'=3xln3； D应该为（lgx）'= 故选A． 运用导数的求导公式对各运算检验即可． 本题考查了导数的运算；熟记公式是关键．‎ ‎5.某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（　　）‎ A. 30 B. 40 C. 50 D. 以上都不正确 ‎【答案】B ‎【解析】解：某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，可得x∈（0，60）．V′（x）=60x-，令60x-=0，可得x=40，当x∈（0，40）时，V′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（40，60）时，V′（x）＜0，函数是减函数，函数的最大值为：V（40）=16000．此时x=40．故选：B． 求出函数的定义域，函数的导数，利用函数的最值求解即可． 6.函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D 根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能 本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题． 本题考查函数的最值的求法、导数的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎7.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是（　　）‎ A. y=2x2 B. y=8x2 C. 2y=8x2-1 D. 2y=8x2+1‎ ‎【解析】解：设AP中点坐标为（x，y），则P（2x，2y+1）在2x2-y=0上，‎ 即2（2x）2-（2y+1）=0，∴2y=8x2-1．故选C． 先设AP中点坐标为（x，y），进而根据中点的定义可求出P点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程． 本题主要考查轨迹方程的求法． 8.已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（　　）‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】解：直线l的参数方程为：，消去t为参数可得：2x-y+1=0． 圆C的极坐标方程为，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得：， 圆心为（0，），半径r=． 那么：圆心到直线的距离d= ∵d，∴直线l与圆C相交． 故选B．消去t为参数可得直线l的普通方程；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得圆C的直角坐标方程．圆心到直线的距离与半径比较可得直角的关系． 本题主要考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转换．点到直线的距离公式．属于基础题．‎ ‎9.函数f（x）=ax-lnx在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. （-∞，-2] B. （-∞，0] C. （-∞，1] D. [1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：∵f（x）=ax-lnx，（x＞0），∴f′（x）=a-，‎ 若函数f（x）=ax-lnx区间[1，+∞）上为减函数，则a-≤0在区间[1，+∞）恒成立， 即a≤0，故选：B． 求出函数的导数，问题转化为a-≤0在区间[1，+∞）恒成立，求出a的范围即可． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题． ‎ ‎10.已知函数f（x）=lnx+ax2-2x有两个极值点，则a的取值范围是（　　）‎ A. （-∞，1） B. （0，2） C. （0，1） D. （0，3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：f′（x）=+ax-2=，（x＞0），若函数f（x）=lnx+ax2-2x有两个极值点，则方程ax2-2x+1=0有2个不相等的正实数根，∴，‎ 解得：0＜a＜1，故选：C． 求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题． ‎ ‎11.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：∵，∴x与y同号（t=±1除外）， 将代入消掉参数t得：x2+y2=1（xy≥0，x≠0）； 故选D． 根据可知x与y同号（t=±1除外），将代入消掉参数t后即可判断． 本题考查圆的参数方程，易错点在于对“x与y同号（t=±1除外）”的判断与应用，也是本题的难点，属于中档题． 12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜-f'（x），f（2）=，则不等式f（ex-2）-＜0（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A. （0，ln4） B. （-∞，0）∪（ln4，+∞） C. （ln4，+∞） D. （2，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由xf'（x）+f（x）＜-f'（x），得xf'（x）+f（x）+f′（x）＜0， 即（x+1）f'（x）+f（x）＜0，设g（x）=（x+1）f（x）， 则g′（x）=f（x）+（x+1）f'（x）＜0，即g（x）为减函数， ∵f（2）=，∴g（2）=3f（2）=3×=1，则不等式f（ex-2）-＜0等价为， 当x＞0时，ex-1＞0，则不等式等价为（ex-1）f（ex-2）-1＜0，即（ex-2+1）f（ex-2）＜1，即g（ex-2）＜g（2），则ex-2＞2，则ex＞4，则x＞ln4‎ ‎， 当x＜0时，ex-1＜0，则不等式等价为（ex-1）f（ex-2）-1＞0，即（ex-2+1）f（ex-2）＞1，即g（ex-2）＞g（2），则ex-2＜2，则ex＞4，则x＜ln4，∵x＜0，∴此时不等式的解为x＜0，综上不等式的解为x＜0或x＞ln4，即不等式的解集为（-∞，0）∪（ln4，+∞）， 故选：B 根据条件构造函数g（x）=（x+1）f（x），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可． 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解是解决本题的关键．，注意要对分母进行讨论． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.已知抛物线的准线方程是x=，则其标准方程是______．‎ ‎【答案】y2=-2x．‎ ‎【解析】解：由题意可知： =，∴p=1且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上 故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px，将p代入可得y2=-2x，故答案为：y2=-2x． 先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案． 本题主要考查抛物线的标准方程．属基本知识的考查． 14.已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为-8，则点M的坐标为______ ．‎ ‎【答案】（-2，9）‎ ‎【解析】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=-8，则x0=-2，∴y0=9， ∴点M的坐标是（-2，9），故答案为：（-2，9）． 求导函数，令其值为-8，即可求得结论． 本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 15.M是椭圆上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|•|MF2|的最大值是______ ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】解：设M（x0，y0），由题意知，， ∴|MF1|•|MF2|=（3+）（3-）=9-．∴当x0=0时，|MF1|•|MF2|有最大值9． 故答案为：9．由题意可设M（x0，y0），可先求出离心率，然后根据椭圆的第二定义用x0分别表示出|MF1|和|MF2|，求出|MF1|•|MF2|的表达式，把其看为关于x0的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值． 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． ‎ ‎16.双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题意， ∴b=，∴c=2a ∴=≥=（当且仅当a=时取等号） ∴当a=时，的最小值为 故答案为：． 根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论． 本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本小题满分10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4． （1）求f（x ‎）的单调递减区间； （2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4...............2分， 即得．..............3分 所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），..............4分 由f′（x）＜0，得， 所以函数f（x）的单调递减区间．..............6分 （2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1）， 令f′（x）=0，解得，x2=1． f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： ...............................9分.‎ 由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增． 故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．..............10分 ‎【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力． （1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解． （2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值． 18.（本小题满分12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求+的值．‎ ‎【答案】解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为 ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2；..............5分 （2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P， 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x-1）2+（y-1）2=2中， 得t2-t-1=0，..............7分 ‎∴；..............9分 ‎∴+=+====．.............12分 ‎【解析】（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2-t-1=0，由根与系数的关系，求出+=的值． 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题． ‎ ‎19.（本小题满分12分）已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点． （Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）求实数a的值，使得．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）将直线方程代入双曲线方程，，‎ 整理得：a2x2-（4-2a）+1=0．.............2分 由题意可知，△＞0，即（4-2a）2-4×a2＞0，解得：a＜1，..............4分 由当a=0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，..............5分 实数a的取值范围（-∞，0）∪（0，1）；..............6分 （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）可知：x1+x2=，x1•x2=，............8分 ∴•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+（ax1+1）（ax2+1）， =（a2+1）x1•x2+（a-1）（x1+x2）+2，..............9分 =（a2+1）+（a-1）+2=0， 解得：a=-3±2，..............11分 由a∈（-∞，0）∪（0，1）‎ 所以实数a的值为-3-2或-3+2．..............12分 ‎【解析】（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0及a≠0，即可求得实数a的取值范围； （Ⅱ）由以AB为直径的圆过F，则•=0，即可求得a的值． 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）． （Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程； （Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y-2-1=0 ..............3分 曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；.............5分 （Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为， 则点M参数方程为，..............7分 代入x+y得，x+y=•2cosθ+..............8分 ‎=2sin.............9分 ‎=4sin（）∈[-4，4] ..............11分 ∴x+y的取值范围是[-4，4]..............12分 ‎【解析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x-1）代入下式消去参数t即可； （II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可． 本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题． 21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）． （1）求证：ex≥x+1‎ ‎； （2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】证明：（1）由题意知，要证ex≥x+1，只需证f（x）=ex-x-1≥0，.............1分 求导得f′（x）=ex-1，.............2分 当x∈（0，+∞）时，f′（x）=ex-1＞0，.‎ 当x∈（-∞，0）时，f′（x）=ex-1＜0，.‎ ‎∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，.............4分 即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，.............5分 ∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=ex-x-1≥0， ∴ex≥x+1．.............6分 （2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即ex-x-1＞ax-1在x∈[]上恒成立， 亦即a＜在x∈[]上恒成立，.............7分 令g（x）=，x∈[]，............8分 以下求g（x）=在x∈[]上的最小值， ，.............9分 当x∈[]时，g′（x）＜0， 当x∈[]时，g′（x）＞0， ∴当x∈[]时，g（x）单调递减，当x∈[]时，g（x）单调递增，.............10分 ∴g（x）在x=1处取得最小值为g（1）=e-1，.............11分 ∴正数a的取值范围是（0，e-1）．............12分 ‎ ‎【解析】（1）要证ex≥x+1，只需证f（x）=ex-x-1≥0，求导得f′（x）=ex-1，利用导数性质能证明ex≥x+1． （2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即a＜在x∈[]上恒成立，令g（x）=，x∈[]，利用导数性质求g（x）=在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围． 本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 22.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx-bx-3（a∈R且a≠0） （1）若a=b，求函数f（x）的单调区间； （2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．‎ ‎【答案】解：（1）由f（x）=alnx-bx-3知f′（x）=，.............1分 当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），........3分 当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．........5分 证明：（2）g（x）=lnx-bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2， 设x1＞x2＞0， ∵g（x1）=0，g（x2）=0， ∴lnx1-bx1=0，lnx2-bx2=0，........................6分 ∴lnx1-lnx2=b（x1-x2），lnx1+lnx2=b（x1+x2），........................7分 要证lnx1+lnx2＞2，即证b（x1+x2）＞2， 即＞，........................8分 即ln＞‎ ‎， 设t=＞1上式转化为lnt＞，t＞1．........................9分 设g（t）=lnt-，.......................10分 ∴g′（t）=＞0， ∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，........................11分 ∴g（t）＞g（1）=0， ∴lnr＞， ∴lnx1+lnx2＞2．........................12分 ‎【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2）设x1＞x2＞0，要证lnx1+lnx2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即证ln＞，设t=＞1上式转化为lnt＞，t＞1．够造函数g（t）=lnt-，根据导数和函数的最值的关系即可证明． 本题主要考查导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查转化思想与分类讨论思想、构造法的应用． ‎