【数学】2018届一轮复习人教A版三角测量应用题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版三角测量应用题学案

‎ 专题9.2：三角测量应用题 ‎【拓展探究】‎ 探究1：以三角函数的定义为载体的三角应用题 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为（为常数），小飞轮的半径为，A ‎ OZ ‎ OZ ‎ CZ ‎ BZ ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ x ‎ ‎ y ‎ .在大飞轮的边缘上有两个点，，满足，在小飞轮的边缘上有点．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动 时，点，在水平直线上．m]‎ ‎（1）求点到达最高点时，间的距离；‎ ‎（2）求点，在传动过程中高度差的最大值. ‎ ‎【解】（1）以为坐标系的原点，所在直线为轴，如图所示建立直角坐标系．当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过． 此时A（0，2r），C． ‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中．‎ 此时B（2r，2r），C（4r + r，r）．‎ 记点高度差为，则．‎ 即．设，，则． ‎ 令，得或1．则，，0或2π． ‎ 列表：‎ ‎0‎ ‎2π ‎+‎ ‎0‎ - ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极大值f()‎ 极小值f()‎ ‎0‎ ‎∴当θ =时，f(θ)取得极大值为；当θ =时，f(θ)取得极小值为．‎ 答：点B，C在传动中高度差的最大值． ‎ 探究2：以三角函数的图象为载体的三角应用题 如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.‎ ‎（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；‎ ‎（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m?‎ ‎（3）求证：不论为何值，是定值.‎ ‎【解】设点P离地面的距离为y，则可令 y＝Asin(ωt＋φ)＋b. ‎ 由题设可知A＝50，b＝60. ‎ ‎ 又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60. ‎ 再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－. ‎ 因此，y＝60－50cost (t≥0). ‎ ‎（2）要使点P距离地面超过85 m，则有y＝60－50cost＞85，即cost＜－. ‎ 于是由三角函数基本性质推得＜t＜，即1＜t＜2. ‎ 所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟. ‎ 探究3：以解三角形为载体的三角应用题 ‎1. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且 ‎，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（）. ‎ ‎（1）求灯柱的高（用表示）；‎ ‎（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． ‎ ‎2. 如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0＜a＜)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：‎ ‎①∠A′FE＝a；‎ ‎②对任意a (0＜a＜)，△EAL，△EA′F，△GBF，‎ ‎△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．‎ ‎（1）设A′E＝x，将x表示为a的函数；‎ ‎（2）试确定a，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．‎ ‎【解】（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝a，A′E＝x，‎ 所以EF＝，A′F＝ ． ‎ 由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，‎ 所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．‎ 所以x＝，aÎ(0，) ‎ ‎ （2）S△A′EF＝•A′E•A′F＝•x•＝＝()2•＝． ‎ ‎ 令t＝sina＋cosa，则sinacosa＝．‎ ‎ 因为aÎ(0，)，所以a＋Î(，)，所以t＝sin(a＋)Î(1，]．‎ ‎ S△A′EF＝＝(1－)≤(1－)．‎ ‎ 正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积 ‎ S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－)＝18(－1)．‎ ‎ 当t＝，即a＝时等号成立． ‎ ‎3. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：‎ ‎（1）如图（1）设两根钢管相距‎1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？‎ ‎（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？‎ A E D C B F A E D C B F 图1‎ 图2‎ ‎【解】（1）设钢丝绳长为ym，，则 ‎（其中，），‎ 当时，即时，‎ ‎（2）设钢丝绳长为ym，，则 ‎（其中，）………9分 令得，当时，即时………12分 ‎4. 海岸线，现用长为的拦 围成一养殖场，其中．‎ ‎（1）若, 求养殖场面积最大值；‎ ‎（2）若、为定点，，在折线内选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积；‎ ‎（3）若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.‎ ‎【解】（1）设，‎ ‎，，‎ 所以，△面积的最大值为，当且仅当时取到．‎ ‎（2）设为定值)． (定值) ，由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值．只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点． 面积的最大值为，‎ 因此,四边形ACDB面积的最大值为．‎ ‎（3）先确定点B、C，使. 由(2)知为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由(1)知AB=AC时四边形ACDB面积最大. △ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=.[ S=.‎ 由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为.‎ 所以，四边形ACDB面积最大值为.‎ 探究4：以立体几何为载体的三角应用题 ‎1. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．‎ ‎（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）求该容器的建造费用最小时的．‎ ‎【解】（I）设容器的容积为V，‎ 由题意知故 由于，因此所以建造费用 因此 ‎（2）由（1）得 由于当 令，所以 ‎ （1）当时，易得是函数y的极小值点，也是最小值点。‎ ‎ （2）当即时，当函数单调递减，‎ 所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 ‎2. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用 安装球心为，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托所在圆的圆心都是、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F - A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米（元），灯托造价是每米（元），其中都为常数．设该灯架的总造价为（元）．‎ O ‎ A B ‎ C ‎ D E ‎ F ‎ A ‎1 ‎ D C ‎ B ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎ ‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）当取何值时，取得最小值？‎ ‎【解】（1）延长与地面交于，由题意：，且， 从而，， ‎ ‎.， ‎ （2） 设 ，‎ 令 .. ‎ 当时，；时，，‎ 设，其中，∴. ‎ ‎，时，最小. ‎ 答：当时，灯架造价取得最小值. ‎ ‎3. ‎ 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为（元）.‎ ‎（1）写出的取值范围；‎ ‎（2）将表示成的函数关系式；‎ ‎（3）当为何值时，总费用最小?‎ ‎【解】设圆锥的高为米，母线长为米,圆柱的高为米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4元. ‎ ‎（1） ‎ ‎（2）圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为, ‎ 则 ‎ ‎==, =‎ ‎=. ‎ ‎（3）设,其中则， ‎ 当时，‎ 当时，当时，‎ 则当时，取得最小值，则当时，费用最小. ‎ ‎4. 如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，O为正四棱锥底面中心．‎ ‎（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；‎ ‎（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．‎ ‎【解】（1）设正四棱锥底面边长为y分米，由条件知△APQ为等边三角形，‎ 又，∴．‎ ‎∵，∴．由，即得． ‎ ‎∴.‎ 答：这个正四棱锥的体积是立方分米． ‎ ‎（2）设正四棱锥底面边长为y，则． ‎ 由，即得． ‎ ‎ ∴即为所求表达式． ‎ ‎∵，∴，令，则，‎ 由对恒成立知函数在上为减函数．‎ ‎∴平方分米即为所求侧面积的范围． ‎ 探究5：以追击问题为载体的三角应用题 ‎1. 如图，是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿, 为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶， ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有 得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为‎66km/h．‎ ‎（1）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；‎ ‎（2）设小船速度为‎10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．‎ ‎【解】(1) 如图，作,为垂足．，，‎ 在△中，(km), =(km)．‎ 在△中，(km) ‎ 设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为 km/h，则 (h),（h）． ‎ 由已知得：，，∴．‎ ‎∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达． ‎ ‎（2）在△中，(km),(km)．‎ ‎∴(km)． ∴＝．‎ ‎∵, ‎ ‎∴令得：．当时，；当时，．‎ ‎∵在上是减函数，‎ ‎∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．‎ ‎2. 已知岛南偏东方向，距岛海里的处有一缉私艇，一艘走私船正从处以海里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以海里每小时的航速匀速行驶，经过小时截住该走私船. ‎ ‎（1）为保证缉私艇在30分钟内（含30分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值；‎ ‎（2）是否存在，使得缉私艇以海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【解】（1）最小速度为海里每小时；（2）‎ 探究6：以米勒问题为载体的三角应用题 ‎1. 如图，有一壁画，最高点处离地面，最低点 处离地面.若从离地高的处观赏它，则离墙多远时，视角最大？‎ ‎2. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．‎ ‎（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；‎ ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？‎ ‎【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？‎