2017-2018学年河南省周口中英文学校高二上学期期中考试数学试题

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周口中英文学校 2017—2018 上期高二期中考试 数学试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求) 1．数列 ，的一个通项公式是 ( ) A． B． C． D． 2.下列命题中成立的是 ( ) A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ， 则 的形状为 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 4、在 中，已知 ，则∠C=（ ） A．30° B．150° C． 45° D． 135° 5．数列 的前 项和为 （ ） （A） （B） （C） （D） 6．若实数 x，y 满足不等式组Error!则目标函数 z＝x＋y 的最大值为(　　) A． 7 15 B.15 7 C．1 D. 9 7．设等差数列 的 前 项的和为 ，若 ，则 = （ ） A．12 B．10 C．11 D．22 8. 在 ABC 中，A = ，b=1，面积为 ，则 的值为（　　） 2 , 5 , 2 2 , 11 , 3 1na n= − 23n na n= − 2 1na n= + 14 1n na −= + a b> 2 2ac bc> a b> 2 2a b> 0a b< < 2 2a ab b< < 0a b< < 1 1> a b ABC∆ CBA ，， cba ，， BbAa coscos = ABC∆ ABC∆ 2 2 2 2a b c ab+ = +  ,321 1,321 1,21 1,1 n+++++++ n 1+n n 1 2 +n n 1 4 +n n )1(2 +n n { }na n nS 3 9 2a a+ = 11S ∆ 60 3 CBA cba sinsinsin ++ ++ A.　 　　 B.　 　　 C.　２ 　 D.　 　 9.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下 一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 （ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 10、等比数列｛an｝满足 a1=3， =21，则 ( ) （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 11．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°且距灯塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为(　　) A. 34 6海里/小时 B． 17 6 2 海里/小时 C. 17 2 2 海里/小时 D．34 2海里/小时 12.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记 Sn 为{an}的前 n 项和，则 S2 013＝_______ 14．在△ 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ，不等式 的解集为 ，则 ； 15.若正数 ， 满足 ，则 的最小值为_________ 16.已知 ， 满足 则 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 1 3 5a a a+ + 3 5 7a a a+ + = ABC 60B = ° { | }x a x c< < b = 3 392 13 13 3 39 2 162 a bx x b a + < + ( )+∞∈ ,0,ba x ( 20)− ， ( 2) (0 )−∞ − +∞， ， ( 4 2)− ， ( 4) (2 )−∞ − +∞， ， , ,A B C , ,a b c 0142 <+− xx x y 1 3 5x y + = 4 3x y+ x y 1 0, 0, 3, x y x y x − − ≥  + ≥  ≤ 2 2( 1) ( 2)x y− + − 17、（本小题满分 10 分） 已知关于 的不等式 . （Ⅰ）当 时，解该不等式； （Ⅱ）当 时，解该不等式. 18．（本小题满分 12 分） 在 中，角 所对的边分别是 ，且满足 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 ，求 的面积． 19.(本小题满分 12 分) 某家具厂有方木料 90 米，五合板 600 米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书 桌需要方木料 0.1 米，五合板 2 米，生产一个书橱需要方木料 0.2 米，五合板 1 米，出售一 张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元．如何安排生产可使所得利润最大？ 20、(本小题满分 12 分) 设 是公比不为 1 的等比数列，其前项和为 ，且 成等差数列。 （1）求数列 的公比； （2）证明：对任意 成等差数列。 21.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且cos B cos C＝－ b 2a＋c. （1）求角 B 的大小； （2）若 ，求实数 b 的取值范围． 22.（本小题满分 12 分） 已知数列 中，其前 项和 满足 （ ）． （1）求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式； （2）设 ， 求数列 的前 项和 ； x ( 1) 3 11 a x x + − <− 1a = 0a > ABC∆ , ,A B C , ,a b c 45oA = 3cos 5B = sinC 5a = ABC△ { }na nS 5 3 4, ,a a a { }na * 2 1, , ,k k kk N S S S+ +∈ 1a c+ = { }na n nS 2 2n nS a= − *n∈N { }na { }na ( 1)n nb n a= + ⋅ }{ nb n nT （3）设 （ ），试确定实数 的取值范围，使得对任意 ，有 恒成立． 4 2n n nc aλ= − *n∈N λ *n∈N nn cc >+1 周口中英文学校 2017—2018 上期高二期中考试 数学 答案 一、选择：每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C C B D C A B B B C 二、填空：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13、－1005 15、 5 16、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17、（本小题满分 10 分） 解：原不等式可化为 ，即 ,等价于 （Ⅰ）当 时，不等式等价于 , ∴ ∴原不等式的解集为 .………………4 分 （Ⅱ）∵原不等式等价于 , ∴ ∵ , ∴ 当 ，即 时，解集为 …………6 分 当 ，即 时，解集为 …………………………8 分 当 ，即 时，解集为 ……………………10 分 18．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）∵ ∴ ∴ 1314、 [ ]29,2 ( 1) 3 1 01 a x x + − − <− 2 01 ax x − <− ( 2)( 1) 0ax x− − < 1a = ( 1)( 2) 0x x− − < 1 2x< < { |1 2}x x< < ( 2)( 1) 0ax x− − < 2( )( 1) 0a x xa − − < 0a > 2( )( 1) 0x xa − − < 2 1a > 0 2a< < 2{ |1 }x x a < < 2 1a = 2a = Φ 2 1a < 2a > 2{ | 1}x xa < < 3cos ,5B = 4sin 5B = 2 2 7 2sin sin( ) sin(45 ) cos sin2 2 10 oC A B B B B= + = + = + = (或： )…………6 分 （Ⅱ）法一：由正弦定理得， ， ∴ ………………12 分 法二：由正弦定理得， ， ∴ . 19.(本小题满分 12 分) 【解】设生产书桌 张，生产书橱 个，可获总利润 元，则 .…2 分 由题设知： …………6 分 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如右图示. …………7 分 作直线 ，即直线 . 把直线 向右上方平移 到 的位置，直线 经过可行域上的点 ，此时 取得最大值．…9 分 由 解得点 的坐标为(100,400)．…………10 分 ∴当 时， (元)．……11 分 因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为 56 000 元．……12 分 20、(本小题满分 12 分) （1）设数列 的公比为 ，由 成等差数列， 得 ， 2 2 7 2sin sin(135 ) cos sin2 2 10 oC B B B= − = + = 45sin 5 4 2sin 2 2 a Bb A × = = = 1 1 7 2sin 5 4 2 142 2 10ABCS ab C∆ = = × × × = 7 25sin 10 7sin 2 2 a Cc A × = = = 1 1 4sin 5 7 142 2 5ABCS ac B∆ = = × × × = x y z 80 120z x y= + 0.1 0.2 90 2 600 0 , 0 , x y x y x x N y y N + ≤  + ≤ ≥ ∈  ≥ ∈ 2 900 2 600 0 , 0 , x y x y x x N y y N + ≤  + ≤⇒  ≥ ∈  ≥ ∈ : 80 120 0l x y+ = 2 3 0x y+ = l 1l 1l M 80 120z x y= + 2 900 2 600 x y x y + =  + = M 100 , 400x y= = max 80 100 120 400 56000z = × + × = { }na ( 0, 1)q q q≠ ≠ 5 3 4, ,a a a 3 5 42a a a= + 即 ，由 ……………………4 分 得 ， 解得 （舍去）， 所以 ；……………………6 分 （2） ……………………8 分 ……10 分 即对任意 成等差数列………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（1）由正弦定理可得 ，代入已知得 ………………2 分 即 即 ∵ ∴ 故 ，即 ………………4 分 ∵ ∴ ， 又 ∴ ………………6 分 （2）：因为 ， ， ∴ ………………8 分 ＝ ………………10 分 ∴ ， ………………11 分 2 4 3 1 1 12a q a q a q= + 10, 0q a≠ ≠ 2 + 2 0q q − = 1 22, 1q q= − = 2q = − ( )( ) ( ) ( )( ) 3 21 21 21 11 kk k aaS −−=−− −−= ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]211 2 1 1 1 21 2121321 21 21 21 ++ ++ ++ −−+−−=−− −−+−− −−=+ kk kk kk aaaSS ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) k kkk Saa 22223222223 121 =−⋅−=−⋅−−−⋅−−= * 2 1, , ,k k kk N S S S+ +∈ 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = = cos sin cos 2sin sin B B C A C = − + 2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B+ + = 2sin cos sin( ) 0A B B C+ + = A B C π+ + = sin( ) sinB C A+ = 2sin cos sin 0A B A+ = sin (2cos 1) 0A B + = sin 0A ≠ 1cos 2B = − ( )0,B π∈ 2 3B π= 1a c+ = 1cos 2B = − 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + + 2( )a c ac= + − 1 ac− 2 1 2 a c+ ≥ −   3 4 = 3 2b ≥ 又∵ ∴ ，即 的取值范围为 ． ………………12 分 22.（本小题满分 12 分） 解：解：（1）当 时， ， ∴ ………………1 分 因为 当 时， 两式相减得 即 ………………3 分 ∴数列 是以 为首项，公比为 2 的等比数列． ∴ ……………4 分 （2）由（Ⅰ）知 ，它的前 项和为 ………………6 分 （Ⅲ）∵ ，∴ ， ∴ 恒成立． 当 时， 有最小值为 3，∴ ．…………………………12 分 1b a c< + = 3 12 b≤ < b 3 ,12      1n = 1 12 2S a= − 1 2a = 2 2n nS a= − 2n ≥ 1 12 2n nS a− −= − 1 12 2n n n n na S S a a− −= − = − 12n na a −= { }na 1 2a = 12 2 2n n na −= × = n n nb 2)1( ⋅+= n nT 1 2 3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 1 1 1 1 T 2 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2 (1) 2T 2 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2 (2) (1) (2) : T 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 (1 2 )4 ( 1) 21 2 2 T 2 ....................................8 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n − + + − + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − − = ⋅ + + + + + − + ⋅ −= + − + ⋅− = − ⋅ ∴ = ⋅    分 2n na = 恒成立使要 nn nn n ccc >⋅−= + + 1 1,24 λ 恒成立02244 121 1 >⋅+⋅−−=−∴ +++ + nnnn nn cc λλ 13 2nλ −< ⋅ 1n = 13 2n−⋅ 3λ <