重庆市九龙坡区2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

重庆市九龙坡区2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

重庆市九龙区高2020届高三第一学期期中考试 ‎2019-2020学年度数学（文科）试题卷 注意事项：‎ ‎1．答题的，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】,‎ 故选C ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式以及集合交集，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再根据虚数概念求解.‎ ‎【详解】因为，所以虚部为 故选B ‎【点睛】本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数与对数函数单调性比较大小，确定选项.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 故选D ‎【点睛】本题考查指数函数与对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑充分性，再考虑必要性得解.‎ ‎【详解】先考虑充分性. ‎ ‎,‎ ‎=，‎ 因为，所以，‎ 所以“”是“”的充分条件.‎ 再考虑必要性.‎ ‎,‎ ‎=，‎ 不能推出. 如：a=-3,b=-1.‎ 所以“”是“”的非必要条件.‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.若x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 6 B. 4 C. -2 D. -11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最优解，即得结果.‎ ‎【详解】先作可行域，则直线过点时取最大值4‎ 故选B ‎【点睛】本题考查利用线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.根据如下样本数据得到的回归直线方程，则下列判断正确的是（ ）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ ‎-2‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据增减性得再求代入验证选项．‎ ‎【详解】因为随着增加，大体减少，所以 因为，‎ 所以，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据流程图确定求和，再根据裂项相消法求值.‎ ‎【详解】根据流程图得 故选C ‎【点睛】本题考查循环结构流程图以及利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数是奇函数 B. 函数图象关于直线对称 C. 其当时，函数的值域是 D. 函数在上是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象变换得解析式，再根据余弦函数性质判断选择.‎ ‎【详解】因为函数的图象沿x轴向左平移个单位，得到，所以函数是偶函数；函数图象关于点对称；当时，函数的值域是；函数在 单调递减，不是增函数，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换以及余弦函数性质，考查基本分析判断求解能力，属基础题.‎ ‎9.已知等比数列的各项均为正数，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 10 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式以及等比数列性质求最值.‎ ‎【详解】因为，所以的最小值为20，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，求出向量，再根据向量数量积求结果.‎ ‎【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,‎ 所以，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查利用坐标求向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为在上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为在上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得，则只需即可，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 在上单调递增 在上恒成立 又 在上恒成立 当时， ‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.‎ ‎12.已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇偶性确定周期性，再根据图象确定有3个零点的条件，解得结果.‎ ‎【详解】为偶函数，所以周期为4，根据偶函数以及当时，作出图象，结合图象要使图象确定有3个零点，需解得 故选A ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点，考查综合分析求解能力，属基础题.‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎13.已知向量不共线，，，如果，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行坐标表示列式求解.‎ ‎【详解】向量不共线，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据向量平行求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.若函数，已知，则_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数性质求参数，再代入求 ‎【详解】因为，所以，‎ 因此 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查分段函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.党的十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，团结带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，则这50位农民的年收入（单位：千元）的中位数为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断中位数所在区间，再根据概率求中位数.‎ ‎【详解】中位数所在区间在，设为，‎ 则 故答案为 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为_________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件解出首项与公差，再求取最大值时对应项数.‎ ‎【详解】，，‎ 所以 当时取最大值，‎ 因为对任意，都有恒成立，所以k的值为 故答案为9‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（─）必考题：共60分．‎ ‎17.已知函数满足，且的最小值为．‎ ‎（1）求函数单调递增区间；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期，即得，最后根据正弦函数性质求单调区间；‎ ‎（2）先求，再根据两角差正弦公式求的值．‎ ‎【详解】（1）‎ 因为，且的最小值为，所以,‎ 因此 由得 即递增区间为 ‎（2），‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式、正弦函数单调性以及与两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18.已知等比数列为递增数列，且，，数列满足，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列前n项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据条件解得首项与公比，解得数列的通项公式，再根据等差数列定义以及通项公式得的通项公式；‎ ‎（2）根据错位相减法求数列的前n项和．‎ ‎【详解】设等比数列公比为，因为，所以 因为，所以，或 因为等比数列为递增数列， ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列定义及通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫，此帮扶单位为了解该村贫困户对其所提供帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：‎ 贫困户 编号 评分 贫困户 编号 评分 贫困户 编号 评分 贫困户 编号 评分 ‎1‎ ‎78‎ ‎11‎ ‎88‎ ‎21‎ ‎79‎ ‎31‎ ‎93‎ ‎2‎ ‎73‎ ‎12‎ ‎86‎ ‎22‎ ‎83‎ ‎32‎ ‎78‎ ‎3‎ ‎81‎ ‎13‎ ‎95‎ ‎23‎ ‎72‎ ‎33‎ ‎75‎ ‎4‎ ‎92‎ ‎14‎ ‎76‎ ‎24‎ ‎74‎ ‎34‎ ‎81‎ ‎5‎ ‎86‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎25‎ ‎93‎ ‎35‎ ‎89‎ ‎6‎ ‎85‎ ‎16‎ ‎78‎ ‎26‎ ‎66‎ ‎36‎ ‎77‎ ‎7‎ ‎79‎ ‎17‎ ‎88‎ ‎27‎ ‎80‎ ‎37‎ ‎81‎ ‎8‎ ‎84‎ ‎18‎ ‎82‎ ‎28‎ ‎83‎ ‎38‎ ‎76‎ ‎9‎ ‎63‎ ‎19‎ ‎76‎ ‎29‎ ‎74‎ ‎39‎ ‎85‎ ‎10‎ ‎85‎ ‎20‎ ‎87‎ ‎30‎ ‎82‎ ‎40‎ ‎78‎ 用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为8的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为86．‎ ‎（1）请你列出抽到的8个样本的评分数据；‎ ‎（2）计算所抽到的8个样本的均值和方差；‎ ‎（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A级”．运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的8个样本的满意度为“A级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度评分均“超过85”的概率．（参考数据：，，）‎ ‎【答案】（1）86，85，80，87，93，82，89，78.（2）， （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据系统抽样法等距抽样，即可得到抽到的8个样本的评分数据；‎ ‎（2）根据均值和方差公式计算即得；‎ ‎（3）先确定满意度为“A级”贫困户户数以及超过85“A级”贫困户户数，再根据古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】（1）用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为8的样本，分8段，因为第一分段里随机抽到的评分数据为86，所以第一分段抽到为5号，后面分段分别抽到为10，15，20，25，30，35，40，对应评分数据为85，80，87，93，82，89，78.‎ 因此抽到的8个样本的评分数据为86，85，80，87，93，82，89，78.‎ ‎（2）‎ ‎（3），‎ 从（1）中抽到的8个样本的满意度为“A级”贫困户有5户，其中超过85有3户。从5户抽取2户共有10种方法，其中所抽到2户的满意度评分均“超过85”的有3种方法，因此所求概率为 ‎【点睛】本题考查系统抽样法、均值和方差公式以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎20.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）如图，若D在边AB上，且，，，求CD的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化切为弦，再根据正弦定理化简求角A大小；‎ ‎（2）根据三角形面积公式列方程组，解得三角形三边长，再根据余弦定理求CD的长．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）因为，所以，‎ 从而 因为，‎ 所以 即，‎ 因为，所以 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.已知函数（e为自然对数的底数）．‎ ‎（1）若函数在处的切线经过点，求函数的极值；‎ ‎（2）若关于x的不等式对于任意的恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的极大值为，极小值为，（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据切线过点列式解得，再根据导函数零点以及导函数符号确定极值点，求得极值.‎ ‎（2）先化简不等式，再变量分离转化为求对应函数最值，根据最值得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ 或 极大值 极小值 所以函数的极大值为，极小值为，‎ ‎（2）‎ 所以对于任意的恒成立，‎ 设，则 再设，则 因此由得，‎ 极小值 ‎【点睛】本题考查导数几何意义、极值以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为．‎ 求圆的直角坐标系方程及直线的参数方程；‎ 若直线与圆交于两点，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）,（为参数）；（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接代极坐标公式求出圆C的直角坐标方程，写出直线的参数方程.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）由，得，即，‎ 所以圆的直角坐标方程为，‎ 直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（2）将代入，‎ 得，，‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 则 ，‎ 因为，‎ 所以的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查极坐标参数方程和直线的参数方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设，且，时函数的最小值为3，求 的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义以及实数a的值分类讨论，解得结果；‎ ‎（2）先根据绝对值三角不等式解得的最小值，再根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当时，舍去；‎ 当时， ‎ 综上 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 当且仅当时取等号 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值定义、分类讨论解不等式、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎ ‎