【数学】2020届一轮复习（理）通用版数形结合思想专练作业
数形结合思想专练
一、选择题
1．若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是( )
A．{x|－3
3}
B．{x|x<－3或03}
D．{x|－30)型函数，作出其简图如图所示．从图象可以看出f(x)的图象关于点(1，2)成中心对称；其在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上均是减函数；没有能使AB∥x轴的点存在．即只有A正确．故选A．
5．定义在实数集R上的函数f(x)，满足f(x)＝f(4－x)＝f(x－4)，当x∈[0，2]时，f(x)＝3x－x－1，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|的零点个数为( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 B
解析 由题意知，f(x)是偶函数，图象关于直线x＝2对称，周期是4．当x∈[0，2]时，f(x)＝3x－x－1，f′(x)＝3xln 3－1，则f′(x)≥0在[0，2]上恒成立，由此作出函数f(x)的图象．在同一坐标系中作出函数y＝|log2(x－1)|的图象，由图象知，两函数图象共有32个交点，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|共有32个零点，故选B．
二、填空题
6．当x∈(1，2)时，(x－1)20)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，求m的最大值．
解 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m．
因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m．要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值为6．
11．已知a>0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．
(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；
(2)当a∈(0，3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1，2]上的最小值．
解 (1)当a＝1时，因为x|x－1|＋1＝x，
所以x＝－1或x＝1．
(2)f(x)＝
(其示意图如图所示)
①当00，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝．
(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；
(2)当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，若x∈(－∞，0]时，f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1，0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图1所示，
从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解；
(3)当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，从图象看出方程F(x)＝a2若有4个解，则，所以实数a的取值范围是．
分类讨论思想专练
一、选择题
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a等于( )
A．－3 B．－ C．3 D．或－3
答案 D
解析 当a>0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1，2]上单调递增，可知当x＝2时，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝．当a<0时，易知f(x)在x＝－1处取得最大值，即－a＋1＝4，所以a＝－3．综上可知，a＝或－3．故选D．
2．(2018·河南洛阳一模)函数f(x)＝
若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为( )
A．1 B．1，－ C．－ D．1，
答案 B
解析 f(1)＝e1－1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，则需f(a)＝1．当a≥0时，由f(a)＝ea－1＝1得a－1＝0，即a＝1；当－10且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．0，
答案 D
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不同实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当01时，如图2，而y＝2a>1不符合要求．
综上00且a≠1，函数f(x)＝存在最小值，则f(2a)的取值范围为
( )
A．[3，＋∞) B．[2，＋∞) C．(1，2] D．(1，3]
答案 A
解析 当a＞1时，f(x)的值域为[2，＋∞)∪(1＋loga2，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的值域为[2，＋∞)∪(－∞，1＋loga2)．由f(x)存在最小值知a＞1且1＋loga2≥2，所以a∈(1，2]，因而f(2a)＝1＋loga(2a)＝1＋loga2＋logaa≥3．故选A．
5．(2018·福建质检)已知A，B分别为椭圆C的长轴端点和短轴端点，F是C的焦点．若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则|BF|2＝|OF|2＋|OB|2＝c2＋b2＝a2，|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝a2＋b2，所以|AB|＞|BF|．
①如图，点F与A，B同侧时．|AF|＝a－c，|BF|＝a，所以|AF|＜|BF|，所以|AB|＞|BF|＞|AF|，所以△ABF不能构成等腰三角形．
②如图，点F与A，B异侧时．|AB|＝，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，所以|AF|＞|BF|，|AB|＞|BF|．所以|AF|＝|AB|，故(a＋c)2＝a2＋b2，即(a＋c)2＝2a2－c2，
整理得2e2＋2e－1＝0，e＝．又0＜e＜1，所以离心率e＝．故选A．
6．在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )
A．[6，15] B．[7，15] C．[6，8] D．[7，8]
答案 D
解析 由⇒取点A(2，0)，B(4－s，2s－4)，C(0，s)，C′(0，4)．
①当3≤s<4时，可行域是四边形OABC(含边界)，如图1所示，此时，7≤zmax<8．
②当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图2所示，zmax＝8．综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7，8]．故选D．
二、填空题
7．一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为________________．
答案 x＋y－7＝0或2x－5y＝0
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，方程为x＋y－7＝0．
8．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________．
答案 或6
解析 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立；当q≠1时，由题意，得
所以可得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－，此时，a1＝＝6．综上可知，a1＝或6．
9．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________．
答案 －7
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或
当a＝4，b＝－11时，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，所以a＋b＝－7．
三、解答题
10．(2018·广东三校联考)设各项不为0的数列{an}中，前n项和为Sn，且a1＝－29，2Sn＝anan＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
解 (1)∵a1＝－29，2Sn＝anan＋1，①
∴2Sn＋1＝an＋1an＋2，②
②－①得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，
∵an≠0，∴an＋2－an＝2，
∴数列{an}的奇数项成等差数列，又a1＝－29，
∴当n为奇数时，an＝a1＋×2＝n－30；
在①中，令n＝1，得2S1＝2a1＝a1a2，∴a2＝2，
又数列{an}的偶数项成等差数列，
∴当n为偶数时，an＝a2＋×2＝n；
∴an＝
(2)由(1)可知当n为偶数时，an＝n>0，
∴要使Sn最小，其中n必然是奇数．
∴当n为奇数时，
Sn＝＋
＝，
且y＝x2－29x－30的图象的对称轴为x＝＝14．5，
∵n∈N*，且n是奇数，
∴当n＝15时，Smin＝S15＝＝－120．
11．如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB所在直线为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解 (1)取AB的中点E，连接DE，CE，
∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB．
当平面ADB⊥平面ABC时，
∵平面ADB∩平面ABC＝AB，
∴DE⊥平面ABC，可得DE⊥CE．
由已知可得DE＝，EC＝1，
在Rt△DEC中，
CD＝＝2．
(2)当△ADB以AB所在直线为轴转动时，总有AB⊥CD．
证明：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，则AB⊥CD．
②当D不在平面ABC内时，由①知AB⊥DE．
又∵AC＝BC，∴AB⊥CE．
又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE，
由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD．
综上所述，总有AB⊥CD．
12．(2018·湖南六校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(t，2)到焦点F的距离为，且向量在向量上的投影为正数(O为坐标原点)．
(1)若M－，0，过点M，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；
(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E两点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|的长为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)将点P(t，2)代入y2＝2px得t＝，
由点P到焦点F的距离为及抛物线的定义，得＋＝，
解得p＝1或4．
当p＝1时，y2＝2x，F，0，P(2，2)满足向量在向量上的投影为正数；
当p＝4时，y2＝8x，F(2，0)，P，2，此时向量在向量上的投影为负数，舍去．
故抛物线C的方程为y2＝2x，F，0，P(2，2)．
∴直线l1的方程为y＝x＋，
联立y2＝2x，可得xQ＝，
又∵|QF|＝xQ＋，|PF|＝xP＋，
∴＝＝．
(2)设直线l2的方程为x＝ty＋m(m≠0)，
代入抛物线方程可得y2－2ty－2m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2＝0，
整理得(t2＋1)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝0，②
将①代入②解得m＝2，
∴直线l2：x＝ty＋2，
∵圆心M(a，0)到直线l2的距离为d＝，
∴|DE|＝2，
显然当a＝2时，|DE|＝2，|DE|的长为定值．
13．(2018·广东华师大附中测试二)已知函数f(x)＝2(a－1)x＋b．
(1)讨论函数g(x)＝ex－f(x)在区间[0，1]上的单调性；
(2)已知函数h(x)＝ex－xf－1，若h(1)＝0，且函数h(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
解 (1)由题意得g(x)＝ex－2(a－1)x－b，
所以g′(x)＝ex－2(a－1)．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增；
当a≥＋1时，g′(x)≤0，
所以g(x)在[0，1]上单调递减；
当0，g(1)＝e－2a＋2－b>0，
由h(1)＝0，得a＋b＝e，g＝＋1－e<0．
又g(0)＝a－e＋1>0，g(1)＝2－a>0，
解得e－1
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