2012年高考数学_考前金题100例

2012年高考数学_考前金题100例

金题 1 0 0 例 1．若复数 2i1 i3   az （ Ra ，i 是虚数单位），且 z 是纯虚数，则 |i2| a =（C） A． 5 B． 52 C． 102 D．40 2．给出 30 个数：1,2,4,7,……其规律是（D） 第 1 个数是 1； 第 2 个数比第 1 个数大 1； 第 3 个数比第 2 个数大 2； 第 4 个数比第 3 个数大 3；…… 以此类推，要计算这 30 个数的和，现已给出了该问题的程 序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填 入（D） A． 30i ； 1 ipp B． 29i ； 1 ipp C． 31i ； ipp  D． 30i ； 3．已知函数 cbxaxxxf  22 1 3 1)( 23 ，函数 )(xf 在区间 )1,0( 内取极大值，在 )2,1( 内 取极小值，则 1 2   a bM 的取值范围是（B） A． )4 1,( B． )1,4 1( C． ]1,4 1[ D． ),4 1(  4．如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，（单位：cm），则这个几何体的体积是（C） A． )3610(  cm3 B． )3511(  cm3 C． )3612(  cm3 D． )3413(  cm3 5．从数字 0,1,2,3,4,5 中任取三个不同的数作为二次函数 cbxaxy  2 的系数，则与 x 轴有公共点的二次函数的概率是（A） A． 50 17 B． 50 13 C． 2 1 D． 5 4 6．已知向量 jibjiaji   ,2),1,0(),0,1( ，且 a 与b  的夹角为锐角，则实数 的 取值范围为（A） A． )2 1,2()2,(   B． )2 1,( C． )2 1,2( D． )2,(  7．设 nm, 是两条不同的直线，  ,, 是三个不同的平面. 给出下列四个命题：①若  //,nm  ，则 nm  ；②若   , ，则  // ；③若  //,// nm ，则 nm// ；④若  m,//,// ，则 .m 其中正确命题的序号是（D） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 8．由双曲线 1169 22  yx 上的一点 P，与左右两焦点 F1，F2 构成 21FPF ，则 21FPF 的内 切圆与 x 轴切点 N 的坐标为（A） A． )0,3( 或 )0,3( B． )0,3( C． )0,3( D． )0,2( 或 )0,2( 9．关于 x 的函数 )sin()(   xxf 有以下命题： ① )()2(, xfxfx  R ；② )()1(, xfxf  R ；③ )(, xfR 都不是偶函数； ④ R ，使 )(xf 是奇函数，其中假命题的序号是（A） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 10．已知 )2 1(),2(2 1 2   xxnaaam ，则 nm, 之间的大小关系为（C） A． nm  B． nm  C． nm  D． nm  11．若圆 01222  yaxyx 与圆 122  yx 关于直线 1 xy 对称，过点 ),( aaC  的 圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为（C） A． 08442  yxy B． 02222  yxy C． 08442  yxy D． 0122  yxy 12．已知 qpxxxf  2)( 和 xxxg 4)(  都是定义在 }2 51|{  xxA 上的函数，对任 意的 Ax ，存在常数 Ax 0 ，使得 )()(),()( 00 xgxgxfxf  ，且 )()( 00 xgxf  ，则 )( xf 在 A 上的最大值为（C） A． 2 5 B． 4 17 C．5 D． 41 40 13 ． 已 知 直 线 1 xy 与 抛 物 线 )0,(22  pppxy R 交于 A ， B 两 点 ， 且 |||| OBOAOBOA  ，其中 O 为坐标原点，则实数 p 的值为（A） A． 2 1 B．－2 C． 2 1 或－2 D． 6 或 6 14．若函数 )(xfy  的图象如图所示，则 )(xf 的解析式可以是（C） A． xxxf 2)( 2  B． xxxf 2)( 2  C． 23 3 1)( xxxf  D． 23 3 1)( xxxf  15．已知命题“ nanP n n 1)1(2)1(*,:  N ”，若该命题为真，则实数 a 的取值范围 是（A） A． )2 3,2[ B． ]2 3,2( C． )2 3,3[ D． )2 3,3( 16．函数 mxxf  2)( 在区间 )4,1( 上有零点的一个充分不必要条件是（C） A．方程 )(xf =0 在区间(1,4)上有实数根 B． )8,2(m C． )6,2(m D． )4,1(m 17．如果命题“（ p 或 q ）”是假命题，则下列命题中正确的是（B） A． qp, 均为真命题 B． 中至少有一个为真命题 C． 均为假命题 D． 中至多有一个为真命题 18．椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 2 1e ，右焦点为 )0,(cF ，方程 02  cbxax 的两个实根分别为 21, xx 则点 ),( 21 xxP （A） A．必在圆 222  yx 内 B．必在圆 222  yx 上 C．必在圆 222  yx 外 D．以上三种情况都有可能 19．数列 }{ na 是等比数列，且每一项都是正数，若 491,aa 是 0672 2  xx 的两个根， 则 49482521 aaaaa  的值为（B） A． 2 21 B． 39 C． 39 D． 53 20．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等比数列的概率为（C） A． 6 1 B． 36 1 C． 27 1 D． 18 1 21．若实数 yx, 满足 11 3399   yxyx ，则 yx 33  的取值范围是（C） A． 30   B． 60   C． 63   D． 6 22．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶 图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（C） A．62 B．63 C．64 D．65 23．在 ABC 中，已知 BCA sin2sinsin  ，且 6 B ，若 ABC 的面积为 2 1 ，则 B 的对边b 等于（D） A． 31 B． 33 C． 32  D． 3 31 24．根据下面的列联表 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 7775 42 7817 未患肝病 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 得到如下几个判断：①有 99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关；②有 99%的把握认为患肝 病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的可能为 1%；④认为患肝病与嗜酒有关出错的可能 为 10%，其中正确命题的个数为（C） A．0 B．1 C．2 D．3 25．已知点 F 是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是（B） A． ),1(  B．(1,2) C． )21,1(  D． )21,2(  26．自圆 0442: 22  yxyxC 外一点 )4,0(P 向圆引两条切线，切点分别为 A、B， 则  PBPA （C） A． 5 6 B． 5 54 C． 5 12 D． 5 58 27．已知 *,1)1(,2)( )(2)1( N xfxf xfxf ，猜想 )(xf 的表达式为（B） A． 22 4)(   xxf B． 1 2)(  xxf C． 1 1)(  xxf D． 12 2)(  xxf 28．在如图所示的程序框图中，当输出的t 的值最大时，n 的 值等于（C） A．6 B．7 C．6 或 7 D．8 29 ．如图，三棱锥 P — ABC 的高 PO=8 ， AC=BC=3 ， NMACB ,,30 分别在 BC 和 PO 上，且 CMPNxCM 2,  ， 则下面四个图象中大致描绘了三棱锥 N—AMC 的体积 V 与 ))3,0(( xx 变化关系的是（A） 30．如果点 P 到点 )3,2 1(),0,2 1( BA 及到直线 2 1x 的距离都相等，那么满足该条件的点 P 的个数是（B） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个 31．曲线 xy cos2 在 4 x 处的切线方程是 041  yx . 32．已知双曲线 1 2   n y m x 的一条渐近线方程为 xy 3 4 ，则该双曲线的离心率 e 为 4 5 3 5或 . 33．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的一些 性质： ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各下面都是全等的正三角形，相邻 两个面所成二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱夹角相等， 你认为比较合适的是③. 34．已知 yx, 是实数且满足 1cossin  yx ，则 )cos( yx  =0. 35．在 R 上的可导函数 )(xf 满足： 0)(,0)0(  xfxf ，则① )1()2(  ff ；② )(xf 不 可能是奇函数；③函数 )(xxfy  在 R 上为增函数；④存在区间 ],[ ba ，对任意 ],[, 21 baxx  ， 都有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  成立. 其中正确命题的序号为（将所有正确命题的序号都填上）②③. 36．设  , 分别是方程 012  xx 和 012  xx 的根，若 ||||   ，则 )ln(   的值 等于 0. 37．在 ABC 中，G 是 ABC 的重心，且 03 3  GCcGBbGAa ，其中 cba ,, 分别是 A 、 B 、 C 的对边，则 A 30 . 38．观察下列等式： 3 1643 4;3 1643 4;2 932 3;2 932 3;421 2;421 2  ;…，根据这些等式反映的 结 果 ， 可 以 得 到 一 个 关 于 自 然 数 n 的 等 式 ， 这 个 等 式 可 以 表 示 为 *))(1(1)1(1 N nnn nnn n . 39．在斜坐标系 xOy 中， 21,,45 eexOy  分别是 x 轴， y 轴的单位向量，对于坐标平面 内的点 p ，如果 11 eyexOP   ，则 ),( yx 叫做点 p 的斜坐标. （1）已知点 p 的斜坐标为 )1,2( ，则 || OP 5 . （2）在此坐标平面内，以 O 为原点，半径为 1 的圆的方程是  45cos222 xyyx . 40．一个长方形的各顶点均在同一球的表面上，且一个顶点上的三条棱长为 2,2,3，则此 球的表面积为 17 . 41．给出下列命题：①函数 )10(  aaay x 且 与函数 )10(log  aaay x a 且 的定义 域相同；②函数 3xy  与函数 xy 3 的值域相同；③使函数 2 1   x axy 在区间 ),2(  上为增 函数 a 的取值范围是 ),2 1[  . 其中错误命题的序号是②③. 42．已知向量 )3sin,(cos),sin,3(cos  xxbxxa  ，若 baxfx   )(],3,2[  ，则函 数 )(xf 的单调增区间为 ]3,4 9[  . 43．在 Rt ABC 中，两直角边分别为 ba, ，设 h 为斜边长的高，则 222 111 bah  ，由此 类比：三棱锥 ABCS  中的三条侧棱 SA、SB、SC 两两垂直，且长度分别为 cba ,, ，设棱锥底 面 ABC 上的高为 h 则 2222 1111 cbah  . 44．下列三个命题， ①“ 1k ”是“函数 kxkxy 22 sincos  的最小正周期为 ”的充要条件； ②“ 3a ”是“直线 032  ayax 与直线 7)1(3  ayax 相互垂直”的充要条件； ③函数 3 4 2 2   x xy 的最小值为 2. 其中假命题的为①②③.（将你认为是假命题的序号都填上） 45．已知函数 xxaxaxf 2sin2)3sin()3sin()(   ，其中 ax ],,0[  为常数. （1）当 2 1)3sin(  x 时，求 )(xf 的值； （2）当使 0)( xf 恒成立时 a 的最小值. 解析：（1）∵ ],0[ x ，∴ ].3 2,3[3  x 由 .2 1)3sin(  x 得 63  x ，即 .2 x 此时 .222 1 2 1)2()(  aaafxf  （ 2 ） 已 知 函 数 化 为 )3sincos3cos(sin)3sincos3cos(sin)(  xxaxxaxf  .sin2sinsin2 22 xxax  在 ],0[ x 上， 0)( xf 恒成立，即 0sin2sin 2  xxa 恒成立. 而 0sin x ，所以只需 0sin2  xa ，即 xa sin2 恒成立. 故只需 2)sin2( max  xa 成立即可. 所以使 0)( xf 在 ],0[ x 上恒成立时 a 的最小值为 2. 46 ． ABC 中， cba ,, 分 别 是 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 向 量 ),2cos2,sin2( BBm  .),1),24(sin2( 2 nmBn   （1）求解 B 的大小； （2）若 1,3  ba ，求c 的值. 解析：（1）∵ nm   ，∴ 0nm  ， ∴ 022cos)24(sinsin4 2  BBB  ， ∴ 022cos))]2cos(1[sin2  BBB  ， ∴ 02sin21sin2sin2 22  BBB ， ∴ 2 1sin B ∵  B0 ，∴ 6 B 或 .6 5 （2）∵ 13  ba ，∴此时 6 B ， 由余弦定理得： Baccab cos2222  ∴ 0232  cc ， ∴ 2c 或 .1c 47 ．在 ABC 中 ， 设 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 cba ,, ， 向 量 )cos,sin2(),sin,(cos AAnAAm   ，若 .2||  nm  （1）求角的大小； （2）若 24b 且 ac 2 ，求 ABC 的面积. 解析：（1） ),4cos(44 )sin(cos224)cos(sin)sin2(cos|| 222   A AAAAAAnm  ∴ 4)4cos(44  A ，∴ .0)4cos(  A ∵A 为三角形的内角，∴ .4 A （2）由余弦定理知： ,cos2222 Abccba  即 4cos2242)2()24( 222 aaa  ，解得 24a ， ∴ 8c ，∴ .162 28242 1sin2 1  AbcS ABC 48．已知向量 )0(),1,(sin),2cos,cos2(   xbxxa  ，令 baxf  )( ，且 )(xf 的周 期 . （1）求 )4(f 的值； （2）写出 )(xf 在 ]2,2[  上的单调递增区间. 解析：（1） ).42sin(2cos2sin2cossincos2)(   xxxxxxbaxf  ∵ )(xf 的周期为 ，∴ 1 ，∴ )42sin(2)(  xxf ， ∴ .12cos2sin)4(  f （2） )42sin(2)(  xxf ， 当 )(224222 Z kkxk  时， )(xf 单调递增， 即 )(8 3 Z kkxk  而 ]2,2[ x ， 故 )(xf 在 ]2,2[  上的单调递增区间为 ].8,8 3[  49．已知集合 }.084 3|{ 2 2  xxxP （1）函数 Pxtxxxf  ,2cos32)4(sin4)( 2  的最小值为 3，求 t 的值； （2）若不等式 )(2 xfm  在 Px 上恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析：（1）因为 .2)32sin(4 22cos322sin22cos32)]2cos(1[2)( tx txxtxxxf     由 }084 3|{ 2 2  xxxP ，可得 ,24   x 所以 3 2 326   x ，则有 1)32sin(2 1  x ，因为函数 Pxtxxxf  ,2cos32)4(sin4)( 2  的最小值为 3， 所以 322 14  t ，解得 .1t （2）因为 )(2 xfm  在 Px 上恒成立由已知可得 32  m ，得 1m ，故 m 的取值范 围是 )1,( . 50 ．向量 )sin2,sin(cos),0)(cos3,cos(sin xxxnxxxm    ， 函 数 tnmxf  )( ，若 )( xf 图象上相邻两个对称轴间的距离为 2 3 ，且当 ],0[ x 时，函数 )(xf 的最小值为 0. （1）求函数 )(xf 的表达式； （2）在 ABC 中，若 1)( Cf ，且 )cos(cossin2 2 CABB  ，求 Asin 的值. 解 析 ：（ 1 ） xtxxxxtnmxf w  2cossincos32sincos)( 2  .)62sin(22sin3 txtx   依题意， )(xf 的周期 3T ，且 0 ，∴     32 2 T ，∴ 3 1 . ∵ txxf  )63 2sin(2)(  ∴ ],0[ x ，∴ 6 5 63 2 6   x ，∴ .1)63 2sin(2 1  x ∴ 的最小值为 1t ，即 01t ，∴ .1t ∴ .1)63 2sin(2)(  xxf （2）∵ 11)63 2sin(2)(  CCf ，∴ 1)63 2sin(  C ， 又∵ ),0( C ，∴ 2 C ，在 ABCRt 中， ∵ 2  BA ， )cos(cossin2 2 CABB  ∴ .01sinsin,sinsincos2 22  AAAAA 解得 .2 51sin A 又∵ 1sin0  A ，∴ .2 15sin A 51．如图，已知在三棱锥 A—BPC 中， MBCACPCAP ,,  为 AB 中点，D 为 PB 中点， 且 PMB 为正三角形. （1）求证：DM//平面 APC； （2）求证：平面 ABC 平面 APC； （3）若 BC=4，AB=20，求三棱锥 D—BCM 的体积. 解析：证明：（1）∵ M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，∴ APMD // 又∵ DM 平面 APC， AP 平面 APC，∴ //DM 平面 APC。 （2）∵ PMB 为正三角形，D 为 PB 中点，∴ PDMD  ， ∵ ，∴ .PBAP  又∵ PPBPCPCAP  , ， ∴ AP 平面 PBC，∵ BC 平面 PBC ，∴ BCAP  ， 又∵ BC 平面 ABC，∴平面 ABC 平面 APC。 （3）∵ AP 平面 PBC，∴ AP 为三棱锥 PBCA 的高。 ∵ ，∴ MD 平面 PBC ， ∴ MD 为三棱锥 PBCM  的高， ∵M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，∴ MDAP 2 ， ∴ PBCMPBCA VV   2 ，∵ BCDMPCDM VV   ， ∴ PBCADBCM VV   4 1 ∵ ,4,20  BCAB ∴ 310,212,10  APPCPB ， ∴ 740PBCAV ，∴ 710DBCMV 即 .710BCMDV 52．已知关于 x 的一元二次函数 .14)( 2  bxaxxf 设集合 }5,4,3,2,1,1{P 和 }4,3,2,1,1,2{ Q ，分别从集合 P 和 Q 中任取一个数作为 a 和 b ，求函数 )(xfy  在区间 ),1[  上是增函数的概率. 解析：函数 14)( 2  bxaxxf 的图象对称轴为 a bx 2 ，要使函数 14)( 2  bxaxxf 在 区间 ),1[  上为增函数，当且仅当 0a 且 12 a b ，即 ba 2 时为增函数，若 1a ，则 1,2b ；若 2a ，则 1,1,2 b ；若 3a ，则 1,1,2 b ；若 4a ，则 2,1,1,2 b ； 若 5a ，则 2,1,1,2 b ； ∴事件包含基本事件的个数是 1644332  ， ∴所求事件的概率为 .9 4 36 16  53．（ 1）在区间 ]4,0[ 上随机取出两个整数 nm, ，求关于 x 的一元二次方程 02  mxnx 有实数根的概率； （2）在区间 ]4,0[ 上随机取两个数 nm, ，求关于 x 的一元二次方程 02  mxnx 的实 数根的概率. 解析：∵方程 02  mxnx 有实数根，∴ .04  mn （1）由于 ]4,0[, nm 且 nm, 是整数，因此， nm, 的可能取值共有 25 组. 又满足 mn 4 的分别为                          4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 n m n m n m n m n m 共 6 组，因此有实数根的概 率为 .25 6 （2）如图由于      40 40 n m 对应的区域面积为 16， 而不等式组 , 40 40 04       n m mn 表示为阴影部分区域，面积为 2. 因此有实数根的概率为 .8 1 正方形 阴影 S S 54．已知集合 QPMnnnyyQxxxxP  *},,21,12|{},0)2410(|{ 2 N ，在平面直角 坐标系中，点 ),( yx  的坐标 MyMx  , ，试计算： （1）点 A 正好在第三象限的概率； （2）点 A 不在 y 轴上的概率； （3）点 A 正好落在区域 1022  yx 上的概率. 解 析 ： 由 集 合 }0)2410(|{ 2  xxxxP 可得 }0,4,6{ P ，由 *},21,12|{ N nnnyyQ 可得 }3,1,0,4,6{},3,1{  QPMQ  ，因为点 ),( yxA  的坐标， MyMx  , ，所以满足条件的 A 点共有 2555  个， （1）正好在第三象限点有 )4,4(),4,6(),6,4(),6,6(  ，故点 A 正好在第三象限的概 率 .25 4 1 P （ 2 ）在 y 轴 上 的 点 有 )3,0(),1,0(),0,0(),4,0(),6,0(  ， 故 点 A 不在 y 轴 上 的 概 率 .5 4 25 512 P （3）正好落在 1022  yx 上的点有 )3,0(),0,3(),3,1(),1,3(),1,0(),0,1(),0,0( 故 A 落在 1022  yx 上的概率为 .25 7 3 P 55．A 是满足不等式组      40 40 y x 的区域，B 是满足不等式组       4 4 4 yx y x 的区域，区域 A 内 的点 P 的坐标为 ).,( yx （1）当 Ryx, 时，求 BP 的概率； （2）当 Zyx, 时，求 BP 的概率. 解 析 ： 画 出 不 等 式 组      40 40 y x 表 示 的 可 行 域 如 图 所 示 ， 其 中 )4,0(),4,4(),0,4( FED .区域 B 为图中阴影部分. （1）当 Ryx, 时，事件“ BP ”的概率为 .2 1   DEF PEF S S （2）当 Zyx, 时，A 中含整点个数 BN ,2555  中含整点个数 .152 N 从而事件 “ BP ”的概率为 5 3 25 150 N N ，即：当 Ryx, 时， BP 的概率为 2 1 ；当 Zyx , 时， BP 的概率为 .5 3 56．有朋自远方来，他乘飞机、火车、汽车、轮船来的概率分别为 0.4,0.3,0.2,0.1. （1）求他乘飞机或火车来的概率； （2）求他不乘汽车来的概率. 解析：记“他乘飞机来”为事件 A，“他乘火车来”为事件 B，“他乘汽车来”为事件 C， “他乘轮船来”为事件 D. 由于事件 A、B、C、D 不可能两两同时发生，因此它们彼此互斥. 依 题意，有 .1.0)(,2.0)(,3.0)(,4.0)(  DPCPBPAP （1）记“他乘飞机或火车来”为事件 E，则 .BAE  由于事件 A 与事件 B 互斥，所以 .7.03.04.0)()()()(  BPAPBAPEP 即他乘飞 机或火车来的概率为 0.7. （2）记“他不乘汽车来”为事件 F，则事件 C 与事件 F 是对立事件，所 以 ,8.02.01)(1)(  CPFP 即他不乘汽车来的概率为 0.8. 57．如图，  ABCDBCBCD ,1,90 面  60, ADBBCD ，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 ).10(  AD AF AC AE （1）求证：面 BEF 面 ABC ； （2）当  为何值时，面 BEF .ACD 解析：（1）证明：∵ AB 面 BCD，∴ DCAB  ，又 BCDC  ，且 BBCAB  ，得 DC 面 ABC，由 AD AF AC AE  得 ,//CDEF ∴ EF 面 ABC， 又 EF 面 BEF，故面 BEF 面 ABC. （2）由 DC 面 ABC 可得 ,BEDC  ∴ ,EFBE  若面 BEF 面 ACD，则 BE 面 ACD，∴ ,ACBE  由 1 CDBC ，且  90BCD ，得 2BD ， 又  60ADB 得： 6AB ， 在 ABC 中， 7AC ，由 . 7 62  AEACAEAB 此时 .7 6 AC AE 故当 7 6 时，面 BEF 面 ACD. 58．如图，已知直四棱柱 1111 DCBAABCD  的底面是菱形， FEB ,,60 分别是棱 1CC 与 1BB 上的点，且 GFBBCEC ,2 为 AE 的中点. （1）求证： //GF 平面 ABCD； （2）求证：平面 AEF 平面 .11 CCAA 证明：（1）如图，连结 BD 交 AC 于 O，连接 GO，因为 G 为 AE 中点， 所以 OG 2 1 EC. 因为 BF=2EC，所以 BF 2 1 EC，所以 OG BF，所以 MOBF 是平行四边形，所以 GF//OB；因为 OB  平面 ABCD，GF  平面 ABCD， 所以 GF//平面 ABCD； （2）在直四棱柱 1111 DCBAABCD 中， OBCC 1 ，又因为底面 ABCD 为菱形，所以 ACOB  ，得 OB 平面 AA1CC1，因为 GF//OB，所以 GF 平面 AA1CC1， 又 GF 平面 AEF，所以 AEF  平面 AA1CC1. 59．如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， MAFAB ,1,2  是线段 EF 的中点. （1）求证：AM//平面 BDE； （2）求证：AM  平面 BDF. 解析：（1）连结 BD,AC,BD AC=O，连结 EO， ∵O ,M 为中点，且四边形 ACEF 为矩形，所以 EM//OA，EM=OA， ∴四边形 EOAM 为平行四边形，∴AM//EO. ∵ EO 平面 BDE， AM 平面 BDE，∴AM//平面 BDE. （2）连结 OF,AC=2, 2AB ,AO=AF=1，四边形 OAFM 为正方形, OFAM  , ① 又 ACBD  ，面 ABCD 面 ACEF，则 BD 平面 ACEF， AM 平面 ACEF， BDAM  ， ② 由①②知 AM 平面 BDF. 60．如图四边形 ABCD 为矩形， AD 平面 ABE，AE=EB=BC=2，F 为 CE 上的点，且 BF 平面 ACE. （1）求证： BEAE  ； （2）求三棱锥 D—AEC 的体积； （3）设 M 在线段 AB 上，且满足 AM=2MB，试在线段 CE 上确定一 点 N，使得 MN//平面 DAE. 解析：（1）∵ ABEAD 平面 ， BCAD// ， ∴ ABEBC 平面 ，则 BCAE  . 又 ACEBF 平面 ，则 BFAE  ， ∴ BCEAE 平面 ，又 BCEBE 平面 ，∴ BCAE  （2） 3 42223 1   ADCEAECD VV ； （3）在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连 MN,则由比例关系易得 CN＝ CE3 1 . MG∥AE，MG 平面 ADE, AE 平面 ADE, MG∥平面 ADE 同理, GN∥平面 ADE. 平面 MGN∥平面 ADE 又 MN 平面 MGN， MN∥平面 ADE N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点. 61 ． 如 图 ， 已 知 在 棱 柱 1111 DCBAABCD 的 底 面 是 菱 形 ， 且 1AA 面 ABCD ， FAAADDAB ,1,60 1  为棱 1AA 的中点，M 为线段 1BD 的中点. （1）求证： //MF 面 ABCD； （2）试判断直线 MF 与平面 11BBDD 的位置关系，并证明 你的结论； （3）求三棱锥 BDFD 1 的体积. 解析：（1）连结 AC，BD 交于点 O，再连结 MO， ∴ AAOM 1// 且 AAOM 12 1 ， 又∵ AAAF 12 1 ， ∴OM//AF 且 OM=AF，∴四边形 MOAF 是平行四边形， ∴MF//OA. 又∵ OA 面 ABCD，∴MF//面 ABCD. （2） MF 平面 BDD1B1，∵底面 ABCD 是菱形，∴ .BDAC  又∵ BB1 面 ABCD， AC 平面 11BBDD ，∵MF//AC，∴ MF 平面 .11BBDD （3）过点 B 作 ADBH  于 H，∵ AA 1 平面 ABCD，BH  平面 ABCD，∴ AABH 1 ，∴ BH 平面 .11AADD 在 R t ABH 中， ,1,60  ABDAB ∴ .2 3BH .12 3 2 3112 1 3 1 3 1 111   BHSVV FDDFDDBBDFD 三棱锥三棱锥 . 62．在数列 }{ na 中， 1,1 11   n n n ac aaa （ c 为常数， *Nn ），且 521 ,, aaa 成公比不 为 1 的等比数列. （1）求证：数列 }1{ na 是等差数列； （2）求 c 的值； （3）设 1 nnn aab ，求数列 }{ nb 的前 n 项和为 .nS 解析：（1）∵ 11  n n n ac aa ，且 11 a ，显然 0na ∴ caa ac aa nn n nn   1111 1 ，又c 为常数，∴数列 }1{ na 是等差数列。 （2）由（1）知， cncnaan )1(1)1(11 1  ，∴ 11 a ， caca 41 1,1 1 52  ，又∵ 521 ,, aaa 成等比数列， ∴ cc 41 1)1 1( 2  ，解得 .20  cc 或 当 0c 时， nn aa 1 ，不合题意， ∴ 2c （3）由（2）知 2c ，∴ 12 1  nan ， ∵ )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1 1   nnnnaab nnn ∴ ).12 11(2 1)]12 1 12 1()5 1 3 1()3 11[(2 1  nnnSn  63．数列 }{ na 中， *),0(,2 11 N  nccnaaa nn ，且 321 ,, aaa 成等比数列. （1）求 c 的值； （2）求 的通项公式. 解析：（1） cacaa 32,2,2 321  ，因为 321 ,, aaa 成等比数列， 所以 )32(2)2( 2 cc  ，解得 0c 或 2c ， ∵ 0c ，∴ 2c （2）当 2n 时，由 cnaa nn 1 得 cnaacaacaa nn )1(,2, 12312   ， 各式相加成 cnncnaan 2 )1()]1(21[1   ， 又 2,21  ca ，故 )2(,2)1(2 2  nnnnnan 当 1n 时，上式也成立， 所以 *).(22 N nnnan 64．已知数列 }{ na 中， 11 a ，前 n 项的和为 nS ，对任意自然数 nan ,2 是 43 nS 与 12 32  nS 的等差中项. （1）求通项 na ； （2）求 .nS 解析：（1）由已知得，当 2n 时， )2 32()43(2 1 nnn SSa ，① 又 1 nnn SSa ，②得 43),2(43 11   nnnn SanSa ， 上两式相减得 11 3   nnn aaa ，∴ 2 11  n n a a ， ∴  ,,,, 32 naaa 成等比数列，其中 4)1(343 222  aSa ，即 ,2 1,2 1 2  qa ∴当 2n 时， 12 2 )2 1(   nn n qaa ， 即      1)2 1( 1 nna )2( )1(   n n （2）由（1）知 2n 时， 43  nn Sa ，即 .2),4(3 1  naS nn 当 2n 时， .3 4)2 1(3 1)4(3 1 1  n nn aS 又 1n 时， 111  aS 亦适合上式. ∴ .)2 1(3 1 3 4 1 n nS 65．已知等差数列 }{ na 的首项 11 a ，公差 0d ，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等 比数列 }{ nb 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. （1）求数列 }{ na 与 }{ nb 的通项公式； （2）设数列 }{ nc 对任意的 *Nn 均有 1 2 2 1 1  n n n ab c b c b c  成立，求数列 }{ nc 的前 n 项 和 .nS 解析：（1）由题意得： 2 11 )4()13)(( dadada  ， 解得 2d 或 0d （舍去）. ∵ 11 a ，∴ .12  nan ∵ }{ nb 是等比数列，且 322  ab ， 913  ab ，∴公比 3 2 3  b bq ，∴ 11 11 3,1   nn n qbbb 故 .3,12 1 n nn bna （2）∵ 1 2 2 1 1  n n n ab c b c b c  ， ∴当 2n 时 n n n ab c b c b c    1 1 2 2 1 1  ，两式相减得： 21   nn n n aab c ，∴ ),2(322 1   nbc n nn 又当 1n 时， 3, 12 1 1  cab c 不适合上式， ∴      132 3 nnc )2( )1(   n n .当 2n 时， ,3 31 )31(121)323212(1 3232323 1 12 21 n n n n nn cccS         又当 1n 时， 31 S 适合上式. ∴ .3n nS  66．已知函数 )(xf 满足 2)1(),0)(()(  fbaxfbxfax 且 )2()2( xfxf  对 定义域中任意 x 都成立. （1）求函数 )(xf 的解析式； （2）正项数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，满足 .))( 23(4 1 2 n n afS  求证：数列 }{ na 是等差 数列. 解析：（1）由 )0(),()(  baxfbxfax ，得 baxxf  )1)(( ，若 01 ax ，则 0b ， 不合题意，故 01ax ，∴ .1)(  ax bxf 由 12)1(  a bf ，得 ba  22 ，① 由 )2()2( xfxf  对定义域中任意 x 都成立，得 1)2(1)2(  xa b xa b ，由此解 得 2 1a ，② 把②代入①，可得 1b ， ∴ ).2(2 2 12 1 1)(    xxx xf （2）证明：∵ ,))( 23(4 1,2 2)( 2 n n n n afSaaf  ∴ 2 11 2 )1(4 1,)1(4 1  aaaS nn ，∴ 11 a ； 当 2n 时， 2 11 )1(4 1   nn aS ， ∴ )22(4 1 1 2 1 2 1   nnnnnnn aaaaSSa ，得 0)2)(( 11   nnnn aaaa ， ∴ 0na ， ∴ 021  nn aa ，即 21  nn aa ，所以数列 }{ na 是等差数列. 67．已知 yx, 之间满足 ).0(14 2 22  b b yx （1）方程 )0(14 2 22  b b yx 表示的曲线经过一点 )2 1,3( ，求b 的值； （2）在（1）的条件下，以此轨迹的上顶点 B 为顶点作其内接等腰直角三角形 ABC，存在 吗？若存在，有几个；若不存在，请说明理由. 解析：（1） )0(1 4 1 4 )3( 2 2  b b ，∴ .1b （2）由（1）知，轨迹为椭圆；假设存在满足题设的等腰直角三角形 ABC，且 )1,0(B .根 据题意，直角边 BA、BC 不可能垂直或平行于 x 轴，故可设 BA 所在直线为 )0(1  kkxy ， 则 BC 所在的直线方程为 1 k xy ， 由 , 14 1 2 2      yx kxy 得 ),1 41 8, 41 8( 2 2      k k k kA 2 2 2 2 2 2 2 2 41 1||8) 41 8() 41 8(|| k kk k k k kAB       ； 类比，用 k 1 代替 k ，得 2 2 41 18|| k kBC   ；由于 |||| BCAB  ，使 22 41)4(|| kkk  ； 因为 0)13)(1(,0   kkkk ；所以 1k ，或 2 53k ，故存在三个满足题意的等 腰直角三角形. 68．在平面直角坐标系中，若 )2,(),2,(  yxbyxa  ，且 .8||||  ba  （1）求动点 ),( yxM 的轨迹C 的方程； （2）过点(0,3)作直线l 与曲线 C 交于 A、B 两点，设 OBOAOP  ，是否存在这样的直 线l ，使得四边形 OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 解析：（1）因为 )2,(),2,(  yxbyxa  ，且 .8||||  ba  所以动点 ),( yxM 到两个定点 )2,0(),2,0( 21 FF  的距离的和为 3. 所以轨迹 C 是 )2,0(1 F ， )2,0(2F 为焦点的椭圆，方程为 .11612 22  yx （2）因为直线l 过点(0,3)，若直线l 是 y 轴，则 A、B 是椭圆的顶点. 0 OBOAOP ，所以 O 与 P 重合，与四边形是矩形矛盾. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ),(),,(,3 2211 yxByxAkxy  由 ,02118)34( 11612 3 2222       kxxkyx kxy 由于 0)21)(34(4)18( 22  kk 恒成立. 所以 . 34 21, 34 18 221221 k xx k kxx     因为 OBOAOP  ，所以 OAPB 是平行四边形. 若存在直线 1l 使得四边形 OAPB 为矩形，则 OBOA  ，即 0OBOA ， 所以 ,09)(3)1( 2121 2  xxkxxk 所以 .09) 34 18(3) 34 21)(1( 22 2      k kk k k 即 4 5,16 52  kk ， 故存在直线 34 5:  xyl ，使得四边形 OAPB 为矩形. 69．已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x ，离心率 2 2e ，右焦点 F 到上顶点距离为 2 ， 点 )0,(mC 是线段 OF 上的一个动点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于 A、B 两点，使得 BACBCA  )( ， 并说明理由. 解析：（1）由题意知            222 22 2 2 2 acb cb a c 解得 1,2  cba ， ∴椭圆的方程为 .12 2 2  yx （2）由（1）得 )0,1(F ，所以 10  m ，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为 ).1(  xky 代入 12 2 2  yx ，得 ,0224)12( 2222  kxkxk 设 ),(),,( 2211 yxByxA ，则 12 22, 12 4 2 2 212 2 21     k kxx k kxx ，① ∴ , 12 2)2( 22121   k kxxkyy ∴ ). 12 2,2 12 4),(),( 22 2 2211     k km k kymxymxCBCA ∵ ABCBCA  )( ，而 AB的方向向量为 ),1( k ， ∴ mkmk k km k k     2 22 2 )21(0 12 22 12 4 ； ∴当 20  m 时， m mk 21 ，即存在这样的直线l ； 当 12 1  m 时， k 不存在，即不存在这样的直线l . 70．已知椭圆的中心在坐标原点，且经过两点 )5 5,2(),5 52,1( N ，若圆的圆心 C 与椭圆 的右焦点重合，圆的半径恰等于椭圆的短半轴长，已知点 ),( yxA 为圆 C 上一点. （1）求椭圆的标准方程与圆的标准方程； （2）求 ||2 AOACAOAC  （O 为坐标原点）的取值范围. 解析：（1）设椭圆的方程 122  nymx ，依题意可得        ② 15 14 ① 15 4 nm nm ，由①与②可得 .1,5 1  nm 所以椭圆的标准方程为 .15 2 2  yx 所以椭圆的右焦点为 )0,2(F ，短半轴长为 1. 所以圆的标准方程为 .1)2( 22  yx （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 圆 心 )0,2(C ， 所 以 ),2( yxAC  ，而 ),( yxAO  ，则 42||2 22  xyxAOACAOAC ， 而 03422  xyx ，则 3422  xyx 所以 12||2  xAOACAOAC ， 而 1)2( 22  yx ，则 1)2( 2 x ，即 121  x ，即 31  x ， 因此 7123  x ，从而 ||2 AOACAOAC  的取值范围为 ]7,3[ 71．已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率为 3 6 ，F 为右焦点，过 F 点作直线交椭 圆于 MN 两点，且 )0(  FNMF 定点 ).0,4(A （1）求证：当 1 时，有 AFMN  ； （2）若 1 时，有 3 106 ANAM ，求椭圆的方程； （3）在（2）确定的椭圆 C 上，当 MANANAM  tan 的值为 36 时，求直线 MN 方程. 解析：（1）设 )0,(),,(),,( 2211 cFyxNyxM ， 则 ).,(),,( 2221 yxcNFyxcMF  当 1 时， FNMF  ，∴ .2, 2121 cxxyy  ∵ NM, 两点在椭圆上，∴ )1(),1( 2 2 222 22 2 122 1 b yaxb yax  ∴ 2 2 2 1 xx  ，∴ |||| 21 xx  ，由题意得 21 xx  ， ∴ )0,4(),2,0( 2  cAFyMF ，∴ 0 AFMF ，∴ .AFMF  （2）当 1 时，不妨设 ),(),,( 22 a bcNa bcM  ， ∴ 3 106)4( 2 2 2  a bcANAM ，又 3 6a c ， ∴ 22 2 3 ca  ，∴ .2 1 22 cb  ∴ 3 106 2 3 4 1 )4( 2 2 2  c c c ，∴ 0116485 2  cc ， ∴ 2c 或 5 58c （舍）。 ∴椭圆的方程为 .126 22  yx （ 3 ）由 AMNAMNSSMANANAMMANANAM   22sin||||tan .|||| NM yyAF  设 )0)(2(:  kxkl yMN 。由      126 )2( 22yx xky ，得 kyyk 4)31( 22  022k 。 ∴ 2 24 31 2424|| k kkyy NM   ， ∴ 3631 24246 2 22   k kk ， 012 24  kk ， ∴ 12 k ， 1k 。 当 xMN  轴时， 643 626||||.3 62||  NMNM yyAFyy （舍） 综上，直线 MN 的方程为 ).2(  xy 即 02  yx 或 .02  yx 72．椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 2 2e ，椭圆上的点到焦点的最 短距离为 e1 ，直线l 与 y 轴交于点 ),0( mP 与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 .PBAP  （1）求椭圆方程； （2）若 OPOBOA 4  ，求 m 的取值范围. 22．解析：（1）设 )0(1: 2 2 2 2  bab x a yC ，设 C 0， 222 bac  由条件知 2 21 ca ， 2 2a c ，∴ 2 2,1  cba ， 故 c 的方程为： .1 2 1 2 2  xy （2）由 PBxAP  得 ).( OPOBxOAOP  OBxOAOPx  )1( ，∴ 3,41  xx ，设l 与椭圆 交点为 ),(),,( 2211 yxByxA      12 22 yx mkxy 得 .0)1(2)2( 222  mkmxxk 0)22(4)1)(2(4)2( 22222  mkmkkm . 2 1,1 2 2 2 21221    k mxxk kmxx ∵ PBAP 3 ，∴ 21 3xx  ， ∴      2 221 221 3 2 xxx xxx 消去 2x 得 04)3( 21 2 21  xxxx ， ∴ 01 14)2 2(3 2 2 2 2    k m k kmx 整理得 024 2222  kmmk ， 显然 4 12 m 时，不成立。 所以 14 22 2 2 2   m mk ，因为 3x ，∴ 0k ，∴ 014 22 2 2 2   m mk ， ∴ 2 11  m 或 12 1  m 。 容易验证 22 22  mk 成立，所以 0 成立。即所求 m 的取值范围为 ).1,2 1()2 1,1(  73．某商店投入 81 万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共 60 天，市场调研 表明，该商店在经销这一产品期间第几天的利润     ,10 1 ,1 n an )6021( )201(   n n （单位：万元， *Nn ）为了获得更多的利润，商店将每天获得利润投入到次日的经营中，记第 n 天的利润 这几天的投入资金总和 天的利润第nbn  ，例如： .81 21 3 3 aa ab  （1）求 21,bb 的值； （2）求第几天的利润率 nb ； （3）该商店的经销此纪念品期间，哪一天的利润最大？并求该日的利润率. 解析：（1）当 1n 时， 81 1 1 b ；当 2n 时， 82 1 2 b ， （2）当 201  n 时， .11321   nn aaaaa  ∴ .80 1 180 1 81 121   nnaaa ab n n n  当 6021  n 时， 12120181  n n n aaaa ab  1600 2 20 )20)(21(101 10 1 2081 10 1 2 121   nn n nn n aa n n ∴第 n 天的利润率        )(6021 1600 2 )(201 80 1 *2 * Nnnnn n Nnnnbn （3）当 201  n 时， 80 1  nbn 是递减数列，此时 nb 的最大值为 81 1 1 b ； 当 6021  n 时， 70 2 116002 2 11600 2 1600 2 2      nnnn nbn ， （当且仅当 nn 1600 ，即 40n 时，“=”成立） 又∵ 81 1 79 2  ∴当 40n 时， .79 2)( max bn ∴该商店经销此记念品期间，第 40 天的利润率最大，且该日利润为 .79 2 74．已知函数 .ln2 1)( 2 xxxf  （1）求函数 )(xf 在区间 ],1[ e 上的最大值和最小值； （2）求证：在区间 ),1(  上，函数 )(xf 的图象在 3 3 2)( xxg  的图象的下方. 解析：（1）因为 )(,01)(,0 xfxxxfx  单调递增， 所以 .12)(,2 1)1( 2 maxmin  eeff （2）设 32 3 2ln2 1)()()( xxxxgxfxF  ， 即证明 0)( xF 在 ),1[  上恒成立。 x xxxxxxxF )21)(1(21)( 2 2  ∴在 ),1[  上， ,0)(  xF ∴ )(xF 在 ),1(  单调递减， 06 1)1()( max  FxF ，∴ 0)( xF 在 ),1(  恒成立。 75．已知三次函数 )0()( 23  adcxbxaxxf 在 1x 处得极大值，且 2)( xf 是奇 函数. （1）若函数 )(xf 的图象过原点的切线与直线 013:  yxl 垂直，求 )(xf 的解析式； （2）当 ]1,1[x ，不等式 0)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：（1）∵ 2)( xf 是奇函数，∴ ]2)([2)(  xfxf ， ∵ dcxbxaxxf  23)( ，∴ ,22 2323  dcxbxaxdcxbxax ∴ 022  dbx ，∵ Rx ，∴ 0b ， 2d ，∴ 2)( 3  cxaxxf ， ∴ caxxf  23)( ，∵ )(xf 在 1x 处取得极大值. ∴ caxf  23)1( ， ∴ .3,03 acca  又∵直线 013:  yxl 的斜率为 3 1 ， )(xf 的图象过原点的切线与 直线l 垂直. ∴ 3)0( f ，∴ 3c ，∴ 1a ，∴ )1)(1(333)( 2  xxxxf ， ∵当 1x 时， 0)(  xf 当 11  x 时， 0)(  xf ，∴ )( xf 在 1x 处取得极大值，符 合题意. ∴ .23)( 3  xxxf （2）由（1）知， ).1)(1(3)(,23)( 3  xxaxfaxaxxf 令 0)(  xf ，得 1x 或 1x ， ∵ )(xf 在 1x 处得极大值. ∴当 1x 时， 0)(  xf ，当 11  x 时， 0)(  xf ，∴ .0a 当 ]1,1[x 时不等式 0)( xf 恒成立等价于 0)( min xf ，∵ )( xf 在 ]1,1[ 上是减函数，∴ )(xf 的最小值为 )1(f ，∴ 0)1( f ，∴ 022  a ，∴ .1a 综上所述 a 的取值范围是 .10  a 76．设函数 bxxgaxxxxf  2)(,3 1)( 23 ，当 21x 时， )(xf 取得极值. （1）求 a 的值，并判断 )21( f 是函数 )(xf 的极大值还是极小值； （2）当 ]4,3[x 时，函数 )(xf 与 )(xg 的图象有两个公共点，求b 的取值范围. 解析：（1）由题意 axxxf  2)( 2 ，∵当 21x 时， )(xf 取得极值，所以 0)21( f ， ∴ 0)21(2)21( 2  a ，∴ 1a . 此时当 21x 时， 0)(  xf ，当 21x 时， 0)(  xf ， 则 )21( f 是函数 )(xf 的极小值. （2）设 )()( xgxf  ，则 xxxbbxxx 33 1,033 1 2323  ， 设 bxGxxxxF  )(,33 1)( 23 ， 32)( 2  xxxF ，令 032)( 2  xxxF 解得 1x 或 .3x 列表如下： ∴函数 )(xF 在 )1,3(  和(3,4)上是增函数，在 )3,1( 上是减函数， 当 1x 时， )(xF 有极大值 3 5)1( F ； 当 3x 时， 有极小值 9)3( F . ∵函数 )(xf 与 )(xg 的图象有两个交点， ∴函数 )(xF 与 )(xG 的图象有两个交点. ∴ 3 5 3 20  b 或 9b ， ∴ }.9{)3 5,3 20(  b 77 ．设 cxbxaxxf  23)( 的 极 小 值 为 － 8 ， 其 导 函 数 )(xfy  的图象经过点 )0,2( , )0,3 2( 如图所示. （1） )(xf 的解析式； （2）若对 ]3,3[x 都有 mmxf 14)( 2  恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析：（1） cbxaxxf  23)( 2 ，且 )(xfy  的图象过点 )0,3 2(),0,2( ， ∴ 3 2,2 为 023 2  cbxax 的两根，代入得 ,40,2  cab ∴ axaxaxxf 42)( 23  ， 由图象可知， )(xfy  在区间 )3 2,2( 时， 0)(  xf 恒成立， ∴ )(xf 在区间 )3 2,2( 上单调递增，同理可知， )(xf 在区间 )2,(  和 ),3 2(  上单调递 减， ∴ )(xf 在 2x 时，取得极小值，即 8)2( f ， ∴ ,8)2(4)2(2)2( 23  aaaa 解得 1a ，∴ .42)( 23 xxxxf  （2）要使对 ]3,3[x ，都有 mmxf 14)( 2  恒成立，只需 mmxf 14)( 2 min  即可由 （1）知，函数 )(xf 在 ]2,3[  上单调递减，在 )3 2,2( 上单调递增，在 )3,3 2( 上单调递减，且 83334323)3(,8)2( 23  ff ， ∴ 33)( min xf ，则 mm 1433 2  ，即 033142  mm ， 解得 .113  m 78 ．已知函数 )()( 23 R xcbxaxxf 的 图 象 与 直 线 01015  yx 相切于点 )5,1(  ，且函数 )(xf 在 4x 处取得极值. （1）求 )(xf 的解析式； （2）求 的极值； （3）当 ],[ mmx  时，求 )(xf 的最大值. 解析：（1） bxaxxf 23)( 2  ，∵ )( xf 的图象与直线 01015  yx 相切于点 )5,1(  ， ∴      5 ,1523 cba ba ① 又 )(xf 在 4x 处取得极值，∴ 0848  ba ，② 由①、②解得         2 .26)(,6 1 23 c xxxfb a （2） )4(3123)( 2  xxxxxf ，令 0)4(3)(  xxxf 得 .4,0  xx 列表如下： 从而当 0x 时， )(xf 的极大值为 2；当 4x 时， )(xf 的极小值为－30. （3）由（2）知 2)0( f 是极大值，在 ),4(  内函数 )(xf 单调递增，并且可验证 2)6( f ， 根据已知条件知 0m ，∴当 60  m 时， )(xf 的最大值是 2)0( f ，当 6m 时， )(xf 的 最大值是 .26)( 2   mmmf 79．如图，三棱柱 ABCCBA 111 的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图是全等的矩 形，俯视图是等腰直角三角形，已知点 M 是 11BA 的中点. （1）求证： //1CB 平面 MAC1 ； （2）求证：面 MAC1 面 .11 BBAA 证明：（1）法一：由三视图可知三棱柱 ABCCBA 111 为直三棱柱， 底面是等腰直角三角形，且 .90ACB 连结 CA1 ，设 OACCA 11  ，连结 MO， ∵ MBMACOOA 111 ,  ，∴ CBMO 1// ，又∵ MO 面 MAC1 ， CB1 面 MAC1 ，∴ //1CB 面 .1MAC 法二：由三视图可知三棱柱 ABCCBA 111 为直三棱柱，侧棱长为 2，底面为等腰直角三 角形，AC=BC=1. 如图建立空间直角坐标系 xyzC  ，则 ),2,0,1(),2,1,0(),0,0,1(),2,0,0(),0,0,0( 111 ABACC ∵M 为 A1B1 的中点， ∴ ).2,2 1,2 1(M ∵ )0,2 1,2 1(),2,2 1,2 1(),2,1,0( 11  MCAMCB ， ∴ .11 MCAMCB  ∴ //1CB 平面 MAC1 ， 又∵ CB1 面 MAC1 ，∴ //1CB 平面 AC1M. （2）∵ 1111 CBCA  ，M 为 A1B1 中点，∴ 111 BAMC  ， 又∵面 111 CBA 面 BABA 11 ，面 111 CBA 面 1111 BABABA  ， ∴ MC1 面 BABA 11 ，又∵ MC1 面 MAC1 ， ∴面 MAC1 面 .11 BABA 80．如图， ABC 为正三角形， EC 平面 ABC，BD//CE， 且 CE=CA=2BD，M 是 EA 的中点，求证： （1）DE=DA； （2）平面 BDMN 平面 ECA； （3）平面 DEA 平面 ECA. 解：（1）如图，取 EC 的中点 F，连结 DF， ∵ BCEC  ，易知 BCDF // ，∴ .ECDF  在 EFDRt 和 DBARt 中， ∵ ABBCFDBDECEF  ,2 1 ， ∴ DBARtEFDRt  ，∴ .daDE  （2）取 CA 的中点 N，连结 MN、BN，则 .2 1// ECMN ∴ BDMN // ，∴N 点在平面 BDM 内， ∵ EC 平面 ABC ，∴ BNEC  ，又 BNCA  ， ∴ BN 平面 ECA。 ∵ BN 在平面 PDMN 内，∴平面 BDMN  平面 .ECA （3）∵ BNBNDM ,// 平面 ECA。 ∴DM 平面 ECA，又 DM 平面 DEA。 ∴平面 DEA 平面 81．数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，已知 .2 32 nnSn  （1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）若    ).(2 ),( 为偶数 为奇数 n na b n n n 数列 }{ nb 的前 n 项和为 nT ，求 nT . 解：（1）当 1n 时， 211  Sa ； 当 2n 时， .12 )1(3)1( 2 3 22 1   nnnnnSSa nnn 1n 时也适合，∴ *).(1 Nnnan  （2）当 n 为偶数时， )()( 42131 nnn bbbbbbT    = )222()( 42 131 n naaa    )12(3 4 441 )21(4 22 2 11    n n n nnnaa ； 当 n 为奇数时，则 1n 淡偶数， )12(3 4 4 )1(2)1( 1 2 1    n n nnT ).12(3 4 4 34 1 2  nnn 而 1 11 2    n nnnn TbTT ， ∴ .3 423 1 4 34 1 2  n n nnT ∴           ).(3 423 1 4 34 ),(3 423 2 4 2 1 2 1 2 为奇数 为偶数 nnn nnn T n n n 82．数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 ).0*,()12()1( 1  tnStSt nn N （1）证明 }{ na 是等比数列； （2）若 }{ na 的公比为 )(tf ，数列 }{ nb 满足 )1(,1 11 n n bfbb   ，求 }{ nb 的通项公式； （3）定义数列 }{ nc 为 nn n bbc 1 1   ，求 }{ nc 的前 n 项和 .nT 证明：（1）由 nn StSt )12()1( 1  ，得 1)1()1(  nn SwtSt ， 相减得 nn atta )12(1  ，故 ta a n n 121  ，所以 }{ na 是等比数列。 解：（2） n n n bbfb  2)1(1 ， 所以 1,2 11  bbb nn ， 则 ).,2,1(12  nnbn （3） )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 11 1   nnnnbbc nn n ， 所以 ).12 11(2 1)]12 1 12 1()5 1 3 1()3 11[(2 1  nnnTn  83．已知某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/辆，年销售量为 5000 辆. 本年度为适应市场需求，计划提高产品档案，适当增加投入 成本，若每辆车投入成本增加的比例为 )10(  xc ，则出厂价相应提高的比例为 x7.0 ，年销 售量也相应增加.[年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量] （1）若年销售量增加的比例为 x4.0 ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内？ （2）若年销售量关于 x 的函数为 )32(3240 2  xxy ，则当 x 为何值时，本年度的年 利润最大？最大利润为多少？ 解：（1）由题意得上年度的利润为 150005000)1013(  万元， 本年度每辆车的投入成本为 )1(10 x ， 本年度每辆车的出厂价为 )7.01(13 x ， 本年度年销售量为 )4.01(5000 x ， 因此本年度的利润为： )4.01(5000)]1(10)7.01(13[ xxxy  )4.01(5000)9.03( xx  )10(1500015001800 2  xxx 由 150001500015001800 2  xx ， 解得 .6 50  x 所以当 6 50  x 时，本年度的年利润比上年度有所增加。 （2）本年度的利润为： )3 52(3240)9.03()( 2  xxxxf )55.48.49.0(3240 23  xxx ， 则 ).3)(59(972)5.46.97.2(3240)( 2  xxxxxf 由 0)(  xf ，解得 .39 5  xx 或 当 )9 5,0(x 时， 0)(  xf ， )(xf 是增函数； 当 )1,9 5(x 时， )(,0)( xfxf  是减函数。 所以当 9 5x 时， 取极大值 20000)9 5( f 万元。 因为 )1,0()( 在xf 上只有一个极大值，所以它是最大值。 则当 x 为 9 5 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20000 万元。 84．已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 与直线 01 yx 相交于 P、Q 两点，且 OQOP  （O 为原点）. （1）求 22 11 ba  的值； （2）若椭圆离心率e 在 ]2 2,3 3[ 上变化时，求椭圆半长轴 a 的取值范围. 解：（1）联立方程      .01 ,12 2 2 2 yx b y a x 得 0)1(2)( 222222  baxaxba . ① 由 0)1()(44 22224  bbaaa 得 .122 ba 设 P、Q 两点坐标为 ),(),,( 2211 yxyx 。 因为 OQOP  ，所以 .0OQOP 所以 .02121  yyxx 又因为 21212121 )(1)1)(1( xxxxxxyy  ， 所以 .0)(1 2121  xxxx ② 由①得         .)1( ,2 22 22 21 22 2 21 ba baxx ba axx 代入②得 021)1(2 22 2 22 22   ba a ba ba ， 整理得 .2 2222 baba  所以 .211 22  ba （2）因为 a ce  ，所以 2 22 2 2 2 a ba a ce  ， 则 .2222 eaab  ③ 由（1）知 2222 2 baba  ， 将③代入得 )(2 22222222 eaaaeaaa  ， 因为 02 a ，所以 )1(22 222 eae  ， 所以 .)1(2 1 2 1 2 2 ea  因为 .2 2 3 3  e 所以 2 3 4 5  a 因为 0a ， 所以 .2 6 2 5  a 85．设 A、B 分别是直线 xy 5 52 和 xy 5 52 上的两个动点，并且 20|| AB ，动点 P 满足 OBOAOP  ，记动点 P 的轨迹为 C. （1）求轨迹 C 的方程； （2）若点 D 的坐标为 )16,0( ，M，N 是曲线 C 上的两个动点，且 )1(  DNDM ，求实 数  的取值范围. 解：（1）设 ),( yxP ，因为 A，B 分别为直线 xy 5 52 和 xy 5 52 上的点， 故可设 A 为 )5 52,( 11 xx ，B 为 ).5 52,( 22 xx  因为 OBOAOP  ， 所以      ).(5 52 , 21 21 xxy xxx 即      .2 5 , 21 21 yxx xxx 又因为 20|| AB ，所以 .20)(5 4)( 2 21 2 21  xxxx 则 .205 4 4 5 22  xy 即曲线C 的轨迹方程为 .11625 22  yx （2）设 ),(),,( yxMtsN ，则由 DNDM  ， 可得 ).16,()16,(  tsyx  故 ).16(16,  tysx  因为 NM, 在曲线 C 上，所以        .116 )1616( 25 ,11625 222 22  ts ts 消去 s 得 .116 )1616( 16 )16( 222   tt 由题意知 0 ，且 1 ，解得 .2 1517   t 又因为 4|| t ，所以 .4|2 1517|    解得 ).1(3 5 5 3   故实数 的取值范围是 ).1(3 5 5 3   86．在 2008 年奥运会射击比赛中，某射手射中 10 环，9 环，8 环的概率分别为 0.81，0.12， 0.05，计算这个射手在一次射击中： （1）射中 10 环或 8 环的概率； （2）不够 8 环的概率. 解：（1）设“射中 10 环”为事件 A，“射中 8 环”为事件 B。由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件，于是“射中 10 环或 8 环”的事件为 .BA 故 .86.005.081.0)()()(  BPAPBAP  ∴射中 10 环或 8 环的概率为 0.86. （2）设“不够 8 环”为事件 E，则事件 E 为“射中 8 环或 9 环或 10 环”。 ∴ 98.005.012.081.0)( EP ， 从而 .02.098.01)( EP ∴不够 8 环的概率为 0.02。 87．下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生 50 人，成绩分为 1—5 个档次， 例如，表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分的学生共 5 人，设 yx, 分别表示英语成绩和 数学成绩. （1） 4x 的概率是多少？ 4x 且 3y 的概率是多少？ 3x 的概率是多少？在 3x 的 基础上， 3y 同时成立的概率是多少？ （2） 2x 的概率是多少？ ba  的值是多少？ 解：（1） 28.050 14 50 15701)4( xP ； 14.050 7)3,4(  yxP ； 7.050 )39012()15701()10131()3( xP ； .16.050 071)3,3(  yxP （2） 2.050 311007.01)1()3(1)2(  xPxPxP ； 故 502.0061  ab ，即 3ba . 88 ． 已 知 椭 圆 M 的 两 个 焦 点 分 别 为 PFF ),0,1(),0,1( 21  是 此 椭 圆 上 的 一 点 ， 且 .8||||,0 2121  PFPFPFPF （1）求椭圆 M 的方程. （2）点 A 是椭圆 M 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B，C 是椭圆 M 上不同于点 A 的 两点. 若 ABC 的重心是椭圆 M 的右焦点，求直线 BC 的方程. 解：（1）由题意知 22 21 4|)||(| aPFPF  ， 即 .4||||||2|| 22 221 2 1 aPFPFPFPF  ① 而在 Rt 21FPF 中， 44|||| 22 2 2 1  cPFPF ， ② 由①②得 24824 a ， 所以 .4,5 2222  caba 因此，所求椭圆 M 的方程为 .145 22  yx （2）由题意，直线 BC 的斜率存在，设直线 BC 的方程为 mkxy  ，代入椭圆方程 2054 22  yx ， 可得 .020510)54( 222  mkmxxk 若设 ),(),,( 2211 yxCyxB ， 则由根与系数的关系得 . 54 10 221 k kmxx   ① 因为 ABC 的重心为椭圆 M 的右焦点 0),0,1(2 AxF ，所以 13 21  Axxx ，即 321  xx . ② 同理， 221  yy ，即 .22)( 21  mxxk ③ 由①②③联立得 .5 14,5 6  mk 所以直线 BC 的方程为 .01456  yx 89．已知各项均为正数的数列 }{ na 满足 *)(02 2 1 2 1 N  naaaa nnnn ，且 23 a 是 42 ,aa 的等差中项. （1）求数列 }{ na 的通项公式 na ； （2）若 nnnnn bbbSaab  21 2 1 ,log ，求使 502 1  n n nS 成立的正整数 n 的 最小值. 解：（1）∵ 02 2 1 2 1   nnnn aaaa ， ∴ 0)2)(( 11   nnnn aaaa ， ∵数列 }{ na 的各项均为正数， ∴ 01  nn aa ，∴ 021  nn aa ， 即 *)(21 N naa nn ，所以数列 }{ na 是以 2 为公比的等差数列. ∵ 23 a 是 42 ,aa 的等差中项， ∴ 42 342  aaa ， ∴ 4882 111  aaa ，∴ 21 a ，∴数列 }{ na 的通项公式 *)(2 N na n n . （2）由（1）及 nnn aab 2 1log ， 得 n n nb 2 ， ∵ nn bbbS  21 ， ∴ n n nS 22423222 432   ， ① ∴ 15432 22)1(24232222  nn n nnS  ， ② ②－①得， .22)1( 221 )21(22222222 1 115432      n n n nn n n nnS  要使 502 1  n n nS 成立，只需 5022 1 n 成立， 即 5,522 1  nn . ∴使 502 1  n n nS 成立的正整数 n 的最小值为 5. 90．已知正项数列 }{ na 的前 n 项和为 nn SS , 是 4 1 与 2)1( na 的等比中项. （1）求证：数列 }{ na 是等差中项； （2）若 n n n ab 2  ，数列 }{ nb 的前 n 项和为 nT ，求 nT . 证明：（1）由 nS 是 4 1 与 2)1( na 的等比中项. 得 2)1(4 1  nn aS . 当 1n 时， 2 11 )1(4 1  aa ， ∴ 11 a ；当 2n 时， 2 11 )1(4 1   nn aS ， ∴ )22(4 1 1 2 1 2 1   nnnnnnn aaaaSSa ， 即 0)2)(( 11   nnnn aaaa ， ∵ 0na ，∴ 021  nn aa ， 即 21  nn aa ，∴数列 }{ na 是等差数项. （2）解：数列 }{ na 首项 11 a ，公差 2d ，通项公式为： 12  nan ， 则 nn nb 2 12  ，从而 nn nT 2 12 2 5 2 3 2 1 32   ， ① 同边同乘以 2 1 ，得 1432 2 12 2 5 2 3 2 1 2 1   nn nT  ， ② ①－②得 132 2 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1   nnn nT  ， ∴ 2 1 2 12) 2 1 2 1 2 1 2 1(22 1 132  nnn nT  . 2 32 2 3 2 1 2 12 2 11 ) 2 11(2 1 2 1 1        n n n n n 解得 . 2 323 nn nT  91．某人在塔的正东沿着南偏西 60 的方向前进 40m 后，望见塔在东北，若沿途测得塔的 最大仰角为 30 ，求塔高（精确到 0.1m）. 解：作出示意图如图所示，设 B 为塔正东方一点，AE 为塔，沿南偏西 60 行 40m 后到 C 处，即 40BC ， 且  30,135 ABCCAB . 在 ABC 中， CAB BC ABC AC  sinsin ， 即  135sin 40 30sin AC ， 解得 .22AC 由点 A 向 BC 作垂线 AG，此时仰角 AGE 最大等于 30 . 在 ABC 中， 由等面积 .sin2 1 2 1 ACBBCACAGBC  ∴ ).13(1015sin220sin  BC ACBBCACAG ∴在 AEG 中，塔高 ).m(2.43 31010)13(103 330tan  AGAE 故塔高约为 4.2m. 92．已知函数 )0)(2sin(sin3sin)( 2   xxxxf 的最小正周期为 . （1）求 的值； （2）求函数 )(xf 在区间 ]3 2,0[  上的取值范围. 解：（1） xxxf  2sin2 3 2 2cos1)(  .2 1)62sin(2 12cos2 12sin3 3   xxx ∵函数 )(xf 的最小正周期为 ，且 0 ，∴   2 2 ，解得 .1 （2）由（1）得 .2 1)62sin()(  xxf ∵ 3 20  x ，∴ ,6 7 626   x ∴ .2 3 2 1)62sin(2 1  x 即 )(xf 在区间 ]3 2,0[  上的取值范围是 ].2 3,0[ 93．已知 21,ee  不共线， 2121 2,2 eebeea   ，要使 ba , 能作为平面内所有向量的一 组基底，则实数 的取值范围是 }4|{   且R . 94．已知向量 mnm  ),1,(sin),1,3 2(cos   与 n 为共线向量，且 ].0,2[   （1）求  cossin  的值； （2）求   cossin 2sin  的值. 解：（1）∵ m 与 n 为共线向量，∴ 0sin)1(1)3 2(cos   ， 即 3 2cossin   . （2）∵ 9 2)cos(sin2sin1 2   ， ∴ .9 7sin  ∵ 2)cos(sin)cos(sin 22   ， ∴ .9 16)3 2(2)cos(sin 22   又∵ ]0,2[   ，∴ 3 4cossin,0cossin   . 因此， .12 7 cossin 2sin    95．已知实数数列 }{ na 中， n n n a aaaa 2 1 261 ,32,1    ，把数列 }{ na 的各项排成如图的三 角形状，记 ),( nmA 为第 m 行从左起第 n 个数，则 )5,12(A = 1252 . 96．已知实系数一元二次方程 022  cbxx 有两个实根，其中一根在 )0,1( 内，另一 根在(0,1)内，则 6 5   b c 的取值范围是（A） A． )11 10,3 2[ B． ]11 10,3 2[ C． )11 10,3 2( D． ]11 10,3 2( 97．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 )0,4(A 和 )0,4(C ，顶点 B 在椭圆 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 1925 22  yx 上，则  B CA sin sinsin 3 6 . 98．已知圆 0442: 22  yxyxC ，是否存在斜率为 1 的直线l ，使以圆 C 被l 截得 的弦 AB 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 解：将圆 C 化成标准方程： 222 3)2()1(  yx ， 假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的坐标为 ),( ba ， 由于 lCM  ，∴ 1 lCM kk ， ∴ 11 2   a bkCM ，即 01ba ，得 .1 ab ① 直线l 的方程为 axby  ，即 0 abyx ， ∴ 2 |3|||  abCM ，∵以 AB 为直径的圆 M 过原点， ∴ 222 2 222 ||,2 )3(9|||||||,||||| baOMabCMCBMBCMMBMA  ， ∴ 22 2 2 )3(9 baab  ， ② 把①代入②得 032 2  aa ，∴ 2 3a 或 1a ， 当 2 3a 时 2 5b ，此时直线l 的方程为 04  yx ； 当 1a 时 0b ，此时直线l 的方程为 .01 yx 故存在这样的直线l ，方程为 04  yx 或 .01 yx 99．如图，已知 D、E、F 分别是三棱锥 S—ABC 侧棱 SA、SB、SC 上的点， 且 SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面 DEF 截三棱锥 S—ABC 所得上下两部 分体积的比为（C） A．4：31 B．6：23 C．4：23 D．2：25 100．函数 )(xfy  与函数 )(xgy  的图象如图. 则函数 )()( xgxfy  的图象可能是 ①.