数学理卷·2019届河北省武邑中学高二上学期期末考试（2018-02）

数学理卷·2019届河北省武邑中学高二上学期期末考试（2018-02）

河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 ‎2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A．28 B．23 C．18 D．13‎ ‎3.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A．21 B．22 C．23 D．24‎ ‎4.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：)‎ 分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）‎ A. 的平均数 B. 的标准差 C.的最大值 D. 的中位数 ‎5.已知直线,平面,且，给出下列命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则； ④若，则. ‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A.①④ B.③④ C.①② D.②③‎ ‎6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）‎ A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B.12月份人均用电量不低于20度的有500人 C.12月份人均用电量为25度 D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在—组的概率为 ‎7.已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）‎ A．2 B．1 C． D． ‎ ‎8.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（ ）(其中为自然对数的底）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知，点为斜边的中点，，则等于（ ）‎ A． B． C．9 D．14‎ ‎11.如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点)重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点，则的最大值为（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如图所示，有5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用作答）‎ ‎14.过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，则 ．‎ ‎15.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点若，则 ．‎ ‎16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨，原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元. ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）若，求面积的最大值；‎ （2） 若，求 t.‎ ‎18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.‎ ‎（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ ‎（参考公式：，）‎ 参考数据：， ‎ ‎.‎ ‎19.如图，四面体中，分别是的中点，,.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：‎ ‎（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.‎ ‎（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.‎ ‎21.如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎22.已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.‎ ‎(1)求椭圆的方程； ‎ ‎(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 8 16. 27‎ 三、解答题 ‎17. 解：设（1）由余弦定理得，‎ ‎，当且仅当时取等号；解得，‎ 故，即面积的最大值为.‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，又，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.（1）由数据求得 由公式求得 再由 所以关于的线性回归方程为 ‎（2）当时，，；‎ 同样，当时，， ‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. ‎ ‎19.（1）证明：连结,∵分别是的中点.∴,‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面 ‎（2）法一：连结,∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ 在中，‎ 由已知可得 ‎.而,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∵,∴平面.‎ 以分别为轴，建立如图所示的直角坐标系 设平面的法向量，由则有 ‎，令，得 又因为，所以 故直线与平面所成角的正弦值为:.‎ 法二：设到平面的距离为，由，有 ‎，得 故直线与平面所成角的正弦值为：.‎ ‎20.（1）这种规则是不公平的 设甲胜为事件，乙胜为事件,基本事件总数为种 . ‎ 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个： ‎ ‎，‎ ‎∴甲胜的概率 乙胜的概率 ‎∴这种游戏规则不公平. ‎ ‎（2）设甲船先停靠为事件,甲船到达的时刻为,乙船到达的时刻为，可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为，这是一个正方形区域，‎ 面积，事件所构成的区域为，‎ ‎，这是一个几何概型，‎ 所以.‎ ‎21.（1） 连接,交于点,连接,因为侧面为菱形,‎ 所以，且为及的中点，又 所以平面.由于平面,‎ 故.又,故.‎ ‎（2）因为，且为的中点，.‎ 所以.又因为,‎ 所以,故,‎ 从而两两相互垂直，‎ 为坐标原点，的方向为轴正方向，‎ 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 因为,所以为等边三角形，又，则 ‎，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，所以可取 设是平面的法向量，则，同理可取 所以二面角的余弦值为.‎ ‎22.解：（1)由题意知，又，所以，‎ ‎，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）当时，，不合题意 设直线的方程为：，代入，‎ 得：，故，则 设，线段的中点为，‎ 则，‎ 由得: ，‎ 所以直线为直线的垂直平分线，‎ 直线的方程为:，‎ 令得：点的横坐标，‎ 因为，所以，所以.‎ 所以线段上存在点，使得，其中.‎ ‎ ‎ ‎ ‎