2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§9-1　直线方程与圆的方程（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§9-1　直线方程与圆的方程（试题部分）

专题九　平面解析几何 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、直线的方程 ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ 从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.‎ ‎1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.‎ ‎2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.‎ ‎3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用韦达定理解题.‎ ‎4.合理运用“同理可得”进行类比计算.‎ ‎5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).‎ ‎6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.‎ 近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.‎ 二、两直线的位置关系 ‎1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.‎ 三、直线、圆的位置关系 ‎1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.‎ ‎2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.‎ ‎3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.‎ 四、椭圆、双曲线、抛物线 ‎1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.‎ ‎【真题探秘】‎ ‎§9.1　直线方程与圆的方程 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　直线方程 ‎1.过不重合的A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m的值为(　　)‎ A.-1　　　B.-2　　　C.-1或2　　　D.1或-2‎ 答案　B ‎2.已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为‎8‎‎3‎,则cos α等于(　　)‎ A.‎3‎‎5‎　　　B.-‎3‎‎5‎　　　C.‎4‎‎5‎　　　D.-‎‎4‎‎5‎ 答案　D ‎3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　. ‎ 答案　4x-3y+9=0‎ ‎4.已知A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为　　　　　　　　　. ‎ 答案　x+y-5=0或2x-3y=0‎ 考点二　圆的方程 ‎5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)‎ A.x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y+1)2=25　　　　　B.x+‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y-1)2=25‎ C.x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y+1)2=‎25‎‎4‎　　　　　D.x+‎‎1‎‎2‎‎2‎+(y-1)2=‎‎25‎‎4‎ 答案　D ‎6.若a∈‎-2,0,1,‎‎3‎‎4‎,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)‎ A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3‎ 答案　B ‎7.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A、B距离之比为‎2‎,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)‎ A.2‎2‎　　　B.‎2‎　　　C.‎2‎‎2‎‎3‎　　　D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A ‎8.已知△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC外接圆的方程为　　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+3)2+(y-1)2=25‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　求直线的倾斜角和斜率 ‎1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的倾斜角的取值范围为(　　)‎ A.‎0,‎π‎2‎　　　B.π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎　　　C.π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎　　　D.‎π‎2‎‎,π 答案　A ‎2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎　　　　　B.‎0,‎π‎4‎∪‎‎3π‎4‎‎,π C.‎0,‎π‎4‎　　　　　D.π‎4‎‎,‎π‎2‎∪‎π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案　A 考法二　求直线的方程 ‎3.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为(　　)‎ A.y=2x或x-y+1=0‎ B.y=2x或x+y-3=0‎ C.x+y-3=0或x-y+1=0‎ D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0‎ 答案　D ‎4.(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为(　　)‎ A.2x-3y-1=0　　　　　B.2x+3y-7=0‎ C.3x-2y-4=0　　　　　D.3x+2y-8=0‎ 答案　B ‎5.(2019四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点　　　　. ‎ 答案　‎‎-2,-‎‎1‎‎3‎ 考法三　对称问题 ‎6.(2018重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(　　)‎ A.(x+2)2+(y-2)2=4　　　　　B.(x-2)2+(y+2)2=4‎ C.(x+2)2+(y+2)2=4　　　　　D.(x-2)2+(y-2)2=4‎ 答案　B ‎7.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为　　　　　. ‎ 答案　x+7y-6=0‎ ‎8.(2018豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||最大时点P的坐标为　　　　. ‎ 答案　(2,5)‎ 考法四　求圆的方程 ‎9.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)‎ A.(x-1)2+(y-1)2=5　　　　　B.(x+1)2+(y+1)2=5‎ C.(x-1)2+y2=5　　　　　D.x2+(y-1)2=5‎ 答案　A ‎10.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)‎ ‎11.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=25‎ ‎12.(2018四川峨眉山第七教育发展联盟适应性考试(节选))圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.则圆C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　(x-2)2+y-‎‎5‎‎2‎‎2‎=‎‎25‎‎4‎ ‎【五年高考】‎ ‎1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎　　　B.-‎3‎‎4‎　　　C.‎3‎　　　D.2‎ 答案　A ‎2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2x=0‎ ‎3.(2016浙江,10,6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　　　,半径是　　　　. ‎ 答案　(-2,-4);5‎ ‎4.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=　　　　,r=　　　　. ‎ 答案　-2;‎‎5‎ ‎5.(2019北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　. ‎ 答案　(x-1)2+y2=4‎ ‎6.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),或k=1,‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.‎ ‎7.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解析　本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.‎ ‎(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.‎ 由x=my+2,‎y‎2‎‎=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.‎ 又x1=y‎1‎‎2‎‎2‎,x2=y‎2‎‎2‎‎2‎,故x1x2=‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=‎-4‎‎4‎=-1,所以OA⊥OB.‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.‎ 故圆心M的坐标为(m2+2,m),‎ 圆M的半径r=‎(m‎2‎+2‎)‎‎2‎+‎m‎2‎.‎ 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,‎ 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.‎ 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.‎ 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-‎1‎‎2‎.‎ 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为‎10‎,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.‎ 当m=-‎1‎‎2‎时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为‎9‎‎4‎‎,-‎‎1‎‎2‎,圆M的半径为‎85‎‎4‎,圆M的方程为x-‎‎9‎‎4‎‎2‎+y+‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎85‎‎16‎.‎ 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.‎ 教师专用题组 ‎1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-5‎2‎,1]‎ ‎2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.‎ 解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,‎ 所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以00)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是(　　)‎ A.3　　　B.4　　　C.3‎2‎　　　D.4‎‎2‎ 答案　A 二、多项选择题(每题5分,共10分)‎ ‎10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为(　　)‎ A.x=-2　　　　　B.x=2‎ C.4x-3y+4=0　　　　　D.4x+3y-4=0‎ 答案　BC ‎11.(改编题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下列命题中为真命题的是(　　)‎ A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切 B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点 C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切 D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切 答案　BD 三、填空题(每题5分,共10分)‎ ‎12.(2019豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,当△ABO的面积最小时,直线l的方程为　　　　　　. ‎ 答案　2x+3y-24=0‎ ‎13.(2020届百师联盟期中联考)已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,且截x轴所得弦长为4‎2‎,则圆C的方程为　　　　　　　,点P(6,5)到圆C上动点Q的距离最大值为　　　　. ‎ 答案　(x-3)2+(y-1)2=9;8‎ 四、解答题(共10分)‎ ‎14.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标为(0,-2‎2‎),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.‎ ‎(1)求BC边所在直线的方程;‎ ‎(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.‎ 解析　(1)易知kAB=-‎2‎,AB⊥BC,‎ ‎∴kCB=‎2‎‎2‎,‎ ‎∴BC边所在直线的方程为y=‎2‎‎2‎x-2‎2‎.‎ ‎(2)由(1)及题意得C(4,0),‎ 易知AC为圆M的直径,‎ ‎∴M(1,0),AM=3,‎ ‎∴外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9.‎ ‎(3)∵圆N过点P(-1,0),‎ ‎∴PN是动圆的半径,‎ 又∵动圆N与圆M内切,‎ ‎∴MN=3-PN,即MN+PN=3,‎ ‎∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.‎ ‎∵P(-1,0),∴c=1,‎ 又a=‎3‎‎2‎,∴b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎5‎‎4‎,‎ ‎∴所求轨迹方程为x‎2‎‎9‎‎4‎+y‎2‎‎5‎‎4‎=1,‎ 即‎4‎x‎2‎‎9‎+‎4‎y‎2‎‎5‎=1.‎