2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(五)作业

2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(五)作业

中难提分突破特训(五)‎ ‎1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋，bn＝.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解　(1)由an＋1＝an＋，得＝＋，‎ 又bn＝，∴bn＋1－bn＝，‎ 由a1＝1，得b1＝1，‎ 累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，‎ ‎∴bn＝2－.‎ ‎(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则 Tn＝＋＋＋…＋，　　　①‎ Tn＝＋＋＋…＋， ②‎ ‎①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－ ‎＝－＝2－，‎ ‎∴Tn＝4－.‎ 易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，‎ ‎∴Sn＝n(n＋1)－4＋.‎ ‎2．如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB的中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．‎ ‎(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；‎ ‎(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．‎ 解　(1)证明：∵AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB的中点，‎ ‎∴CB∥ED，CB＝ED，‎ ‎∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB，‎ 又EB⊥AB，∴CD⊥AB，‎ ‎∴CD⊥PC，CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC，‎ ‎∴EB⊥平面PBC，‎ 又EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB.‎ ‎(2)由(1)知EB⊥平面PBC，‎ ‎∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角，‎ ‎∴∠EPB＝45°，‎ ‎∵EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，‎ ‎∴△PBE为等腰直角三角形，‎ ‎∴EB＝PB＝BC＝PC，‎ 故△PBC为等边三角形，‎ 取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC，‎ ‎∵EB⊥平面PBC，又EB⊂平面EBCD，‎ ‎∴平面EBCD⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC，‎ ‎∴PO⊥平面EBCD，‎ 以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，‎ 设BC＝2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)，P(0,0，)，‎ 从而＝(0,2,0)，＝(2,1，－)，‎ 设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则由得 令z＝2得m＝(，0,2)，‎ 又平面PBC的一个法向量n＝(1,0,0)，‎ 则cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 所以，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：‎ 分组 ‎[1,3)‎ ‎[3,5)‎ ‎[5,7)‎ ‎[7,9)‎ ‎[9,11)‎ 频数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎5‎ 以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．‎ ‎(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；‎ ‎(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望．‎ 附：若ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.‎ 解　(1)＝×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，‎ 由正态分布知，‎ P(5.5，‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎(2)若对任意的t∈R，s∈R，都有g(s)≥f(t)，可得g(x)min≥f(x)max.‎ ‎∵函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|≤|2x＋1－(2x－3)|＝4，‎ ‎∴f(x)max＝4.‎ ‎∵g(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－(x－a)|＝|a＋1|，‎ 故g(x)min＝|a＋1|，∴|a＋1|≥4，‎ ‎∴a＋1≥4或a＋1≤－4，解得a≥3或a≤－5，‎ 故a的取值范围为{a|a≥3或a≤－5}．‎