2018-2019学年云南省保山市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年云南省保山市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

保山一中2018——2019学年下学期高二年级 期末考试 理科数学试卷 ‎(考试时间：120分钟；满分：150分)‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设，则的共轭复数为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )‎ A．144 B．‎120 C．72 D．24‎ ‎3．已知最小值是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知函数( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．若随机变量且的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )‎ A．6 B．‎7 ‎ 　 C．8 D．9‎ ‎8．若，，，则的大小关系为( )‎ A． 　 B． 　C． 　 D．‎ ‎9．平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为( )‎ A． 　 B． 　　 C． 　 D．‎ ‎10．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为.若，则( )‎ A．5 　 B．‎6 C．7 　　 D．8‎ ‎11．已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点的残差相同，则有( )‎ A． 　 B． C． 　 D．‎ ‎12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )‎ A． 　B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数，则__________； ‎ ‎14．直线与圆相交的弦长为__________；‎ ‎15．二项式__________；‎ ‎16．已知…，‎ 则有__________(填上合情推理得到的式子)．‎ 三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是设点．‎ ‎(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”‎ 是否与学生性别有关，采用简单随机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有60人的班级进行问卷调查，得到如下的列联表：‎ 喜欢 不喜欢 合计 男生 ‎18‎ 女生 ‎6‎ 合计 ‎60‎ ‎ 已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是．‎ ‎(Ⅰ)请完成上面的列联表；‎ ‎(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．‎ 参考临界值表：‎ ‎ ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数．‎ ‎(Ⅰ)求的概率；‎ ‎(Ⅱ)记求随机变量的概率分布列和数学期望．‎ ‎20．已知数列 其中 .‎ ‎（Ⅰ）写出数列的前6项；‎ ‎（Ⅱ）猜想数列的单调性，并证明你的结论.‎ ‎21．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，点．‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若所成角的大小为，求二面角的正弦值．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在；‎ ‎（Ⅲ）若成立，求实数的取值范围.‎ 保山一中2018——2019学年下学期高二年级 期末考试 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D C A C C C B C B C B 二、填空题 ‎13． 14． 15．70 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：(Ⅰ) 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为： ，即 ；‎ ‎ 直线的参数方程化为普通方程为： ．‎ ‎(Ⅱ) 直线的参数方程化为标准形式为，①‎ 将①式代入，得： ，②‎ 由题意得方程②有两个不同的根，设是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：．‎ ‎18．解：(Ⅰ)列联表如下；‎ 喜欢 不喜欢 合计 男生 ‎14‎ ‎18‎ ‎32‎ 女生 ‎6‎ ‎22‎ ‎28‎ 合计 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎(Ⅱ)根据列联表数据，得到 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．‎ ‎19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为．‎ ‎(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，‎ ‎ ．‎ ‎(Ⅱ) 由题意知，可能的取值是0，1，2，3 ．‎ ‎．‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 期望 ．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由；‎ 由；‎ 由；‎ 由；‎ 由；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知猜想：数列是递减数列.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，已证命题成立；‎ ‎②假设当时命题成立，即.‎ 易知，当时，‎ 即.‎ 也就是说，当时命题也成立.‎ 根据①②可知，猜想对任何正整数都成立.‎ ‎21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 根据题设，可设，‎ ‎（Ⅰ）证明：，，‎ 所以，‎ 所以，所以． ‎ ‎（Ⅱ）解：由已知，平面的一个法向量为．‎ 设平面的法向量为，‎ 由 即令，得．‎ 而，依题意与平面所成角的大小为，‎ 所以，即，‎ 解得（舍去），所以．‎ 设二面角的大小为，则，‎ 所以，所以二面角的正弦值为． 解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．‎ 又由是梯形，，，知，‎ 而，平面，平面，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又，点是的中点，所以．‎ 因为，平面，平面，所以平面．‎ 因为平面，所以． ‎ ‎（Ⅱ）解：如图4所示，过作于，连接， ‎ 因为平面，平面，所以，‎ 则平面，于是平面平面，它们的交线是．‎ 过作于，则平面，‎ 即在平面上的射影是，‎ 所以与平面所成的角是．由题意，．‎ 在直角三角形中，，于是．‎ 在直角三角形中，，所以．‎ 方法一：设二面角的大小为，‎ 则，‎ 所以，所以二面角的正弦值为． ‎ 方法二：过作于，连接，‎ 由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，‎ 在直角三角形中，，．‎ 在直角三角形中，，‎ 所以二面角的正弦值为． ‎ ‎22．解：由已知，函数，的定义域为 ‎ 且.‎ ‎（Ⅰ）函数，‎ 当；当.‎ 所以函数的单调减区间是. ‎ ‎（Ⅱ）因在上为减函数，故在上恒成立.‎ 所以当时，. ‎ 又 故当即 .‎ 所以.‎ ‎（Ⅲ）命题“若”等价于 ‎“当” .‎ 由（Ⅱ）知，当.‎ 问题等价于：“” .‎ ① 当，由（Ⅱ）知，上为减函数，‎ 则 .‎ ‎②当，由于在上为增函数，故 .‎ 由的单调性和值域知，‎ ‎，且满足：‎ 当；‎ 当；‎ 所以， .‎ 所以， 与矛盾，不合题意.‎ 综上，得 .‎