高一三角函数试题及答案：同角三角函数 的基本关系式

高一三角函数试题及答案：同角三角函数 的基本关系式

‎1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．‎ 解  ∵sinα＜0‎ ‎∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)‎ ‎(2)若α在第四象限，则 说明  在解决此类问题时，要注意：‎ ‎(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．‎ ‎(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．‎ ‎(3)必要时进行讨论． ‎ 例2  已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．‎ ‎(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．‎ ‎(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．‎ 当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，‎ 说明  (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．‎ ‎(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？‎ ‎2．三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求：‎ ‎(1)函数种类尽可能地少．‎ ‎(2)次数尽可能地低．‎ ‎(3)项数尽可能地少．‎ ‎(4)尽可能地不含分母．‎ ‎(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．‎ 化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．‎ 例3  化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα ‎=secα·cscα 解2  原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)‎ ‎=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)‎ ‎=tgα+ctgα ‎=secα·cscα 说明  (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．‎ ‎(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．‎ 例4  化简：‎ 分析  将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．‎ ‎3．三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．‎ 例5  求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．‎ 分析  从复杂的左边开始证得右边．‎ ‎=2cosα-3tgα=右边 例6  证明恒等式 ‎(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α ‎(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2‎ 分析  (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简 证明  (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1‎ ‎=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1‎ ‎=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1‎ ‎=(sec2α-tg2α)2-1=0‎ ‎∴等式成立．‎ ‎=sin‎2A+cos‎2A=1故原式成立 在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．‎ 分析1  从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．‎ 分析2  由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．‎ 说明  (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．‎ ‎(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．‎ ‎=secα+tgα ‎∴等式成立 说明  以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”‎ ‎∴左边=右边