2016年高考真题——理科数学（新课标卷Ⅲ）原卷版

2016年高考真题——理科数学（新课标卷Ⅲ）原卷版

绝密★启封并使用完毕前 试题类型： 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. （1）设集合 ，则 （ ） (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+ ） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+ ） （2）若 z=1+2i，则 (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则 ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的 是 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上    | ( 2)( 3) 0 , | 0S x x x T x x      S T   U   U  4 1 i zz   BA  1 2 3 2 BC  3 2 1 2  (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 （5）若 ，则 (A) (B) (C) 1 (D) （6）已知 ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） （7）执行下图的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n= （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （A） （B） （C） （D） (9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 3tan 4  2cos 2sin 2   64 25 48 25 16 25 4 32a  3 44b  1 325c  b a c  a b c  b c a  c a b  ABC△ π 4B = 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10- 3 10 10- （A） （B） （C）90 （D）81 (10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的 最大值是 （A）4π （B） （C）6π （D） （11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为 （A） （B） （C） （D） （12）定义“规范 01 数列”{a n}如下：{a n}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 ， 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24) 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 18 36 5 54 18 5  9 2  32 3  2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    1 3 1 2 2 3 3 4 2k m 1 2, , , ka a a ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y           z x y  （14）函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移_____________个单 位长度得到。 （15）已知 f(x)为偶函数，当 时， ，则曲线 y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程 是_______________。 （16）已知直线 与圆 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴 交于 C，D 两点，若 ，则 __________________.学科.网 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和 ， ，其中 0 （I）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II）若 ，求 （18）（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 （19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD，N 为 PC 的中点. （I）证明 MN∥平面 PAB; （II）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.   （20）（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点. （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （II）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. （21）（本小题满分 12 分） 设函数 f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中 a＞0，记 的最大值为 A. （Ⅰ）求 f＇（x）； （Ⅱ）求 A； （Ⅲ）证明 ≤2A. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 中 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点. （I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （II）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OG⊥CD. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴 2 2y x 1 2,l l AB 1C 3cos ( ) sin x y       为参数 为极轴，，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （I）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （I）当 a=2 时，求不等式 的解集； （II）设函数 当 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围. 2C sin( ) 2 24    1C 2C 1C 2C ( ) | 2 |f x x a a   ( ) 6f x  ( ) | 2 1|,g x x  xR 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：新课标Ⅲ 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13） （14） （15） （16）4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意得 ，故 ， ， . 由 ， 得 ，即 .由 ， 得 ， 所以 . 因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，学科.网于是 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，由 得 ，即 ， 3 2 3  2 1y x   111 1 aSa  1  1 1 1a 01 a nn aS 1 11 1   nn aS  nnn aaa    11 nn aa   )1(1 01 a 0 0na 1 1    n n a a }{ na 1 1 1  1)1(1 1   n na    n nS )1(1    32 31 5 S 32 31)1(1 5     5)1(  32 1 解得 ． （18）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ， ， ， ， . 因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的 关系. （Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ， . 所以， 关于 的回归方程为： . 将 2016 年对应的 代入回归方程得： . 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中点知 ， . 又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是 . 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （ Ⅱ ） 取 的 中 点 ， 连 结 ， 由 得 ， 从 而 ， 且 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，学科.网由题意知， ， ， ， ， ， ， . 1   4t 28)( 7 1 2  i i tt 55.0)( 7 1 2  i i yy 89.232.9417.40))(( 7 1 7 1 7 1      i i iii i ii ytytyytt 99.0646.2255.0 89.2 r y t y t y t 331.17 32.9 y 103.028 89.2 )( ))(( ˆ 7 1 2 7 1         i i i ii tt yytt b 92.04103.0331.1ˆˆ  tbya y t ty 10.092.0ˆ  9t 82.1910.092.0ˆ y 23 2  ADAM BP T TNAT, N PC BCTN // 22 1  BCTN BCAD// TN AM AMNT ATMN // AT PAB MN PAB //MN PAB BC E AE ACAB  BCAE  ADAE  5)2( 2222  BCABBEABAE A AE x xyzA  )4,0,0(P )0,2,0(M )0,2,5(C )2,1,2 5(N )4,2,0( PM )2,1,2 5( PN )2,1,2 5(AN 设 为平面 的法向量，则 ，即 ，可取 ， 于是 . （20）解：由题设 .设 ，则 ，且 . 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .....3 分 （Ⅰ）由于 在线段 上，故 . 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 . 所以 . ......5 分 （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 . 由题设可得 ，所以 （舍去）， . 设满足条件的 的中点为 . 当 与 轴不垂直时，由 可得 . 而 ，所以 . ),,( zyxn  PMN      0 0 PNn PMn      022 5 042 zyx zx )1,2,0(n 25 58 |||| |||,cos|  ANn ANnANn )0,2 1(F bylayl  :,: 21 0ab )2,2 1(),,2 1(),,2 1(),,2(),0,2( 22 baRbQaPbbBaA  BA, l l 0)(2  abybax F AB 01  ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak    FQAR∥ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF   22 1 2 1 1 baxab  01 x 11 x AB ),( yxE AB x DEAB kk  )1(1 2  xx y ba yba  2 )1(12  xxy 当 与 轴垂直时， 与 重合.所以，所求轨迹方程为 . ....12 分 （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） ． （Ⅱ）当 时， 因此， ． ………4 分 当 时，将 变形为 ． 令 ， 则 是 在 上 的 最 大 值 ， ， ， 且 当 时， 取得极小值，极小值为 ． 令 ，解得 （舍去）， ． （ⅰ）当 时， 在 内无极值点， ， ， ，所以 ． （ⅱ）当 时，由 ，知 ． 又 ，所以 ． 综上， ．　　　………9 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得 . 当 时， . 当 时， ，所以 . 当 时， ，所以 . 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 AB x E D 12  xy ' ( ) 2 sin 2 ( 1)sinf x a x a x    1a  '| ( ) | | sin 2 ( 1)(cos 1) |f x a x a x    2( 1)a a   3 2a  (0)f 3 2A a  0 1a  ( )f x 2( ) 2 cos ( 1)cos 1f x a x a x    2( ) 2 ( 1) 1g t at a t    A | ( ) |g t [ 1,1] ( 1)g a  (1) 3 2g a  1 4 at a  ( )g t 2 21 ( 1) 6 1( ) 14 8 8 a a a ag a a a         11 14 a a    1 3a   1 5a  10 5a  ( )g t ( 1,1) | ( 1) |g a  | (1) | 2 3g a  | ( 1) | | (1) |g g  2 3A a  1 15 a  ( 1) (1) 2(1 ) 0g g a     1( 1) (1) ( )4 ag g g a    1 (1 )(1 7 )| ( ) | | ( 1) | 04 8 a a ag ga a       21 6 1| ( ) |4 8 a a aA g a a     2 12 3 ,0 5 6 1 1, 18 5 3 2, 1 a a a aA aa a a              '| ( ) | | 2 sin 2 ( 1)sin | 2 | 1|f x a x a x a a       10 5a  '| ( ) | 1 2 4 2(2 3 ) 2f x a a a A       1 15 a  1 3 18 8 4 aA a    '| ( ) | 1 2f x a A   1a  '| ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A     '| ( ) | 2f x A 解：（Ⅰ）连结 ，则 . 因为 ，所以 ，又 ，所以 . 又 ，所以 ， 因此 . （Ⅱ）因为 ，所以 ，由此知 四点共圆，其圆心既在 的垂直平分线上，又在 的垂直平分线上，故 就是过 四点的圆的圆心，所以 在 的垂 直平分线上，因此 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . ……5 分 （Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值， 即为 到 的距离 的最小值， . ………………8 分 当 且 仅 当 时 ， 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 ， 此 时 的 直 角 坐 标 为 . ………………10 分 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当 时， . 解不等式 ，得 . 因此， 的解集为 . ………………5 分 （Ⅱ）当 时， ， 当 时等号成立， 所以当 时， 等价于 . ① ……7 分 BCPB, BCDPCBPCDBPDPBABFD  , BPAP  PCBPBA  BCDBPD  PCDBFD  PCDPFBBFDPFD  2,180 1803 PCD 60PCD BFDPCD  180 EFDPCD EFDC ,,, CE DF G EFDC ,,, G CD CDOG  1C 2 2 13 x y  2C 4 0x y   P ( 3 cos ,sin )  2C | |PQ P 2C ( )d  | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d         2 ( )6k k Z    ( )d  2 P 3 1( , )2 2 2a  ( ) | 2 2 | 2f x x   | 2 2 | 2 6x    1 3x   ( ) 6f x  { | 1 3}x x   x R ( ) ( ) | 2 | |1 2 |f x g x x a a x      | 2 1 2 |x a x a     |1 |a a   1 2x  x R ( ) ( ) 3f x g x  |1 | 3a a   当 时，①等价于 ，无解. 当 时，①等价于 ，解得 . 所以 的取值范围是 . ………………10 分 1a  1 3a a   1a  1 3a a   2a  a [2, )