2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省三明市三地三校高二下学期期中联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】化简复数，所以复数对应的点，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，所以复数对应的点，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ）‎ A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 ‎【答案】A ‎【解析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解.‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是“都不能被5整除”，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，分别验证，求得时，，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，，‎ 所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的证明方法与步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于基础题.‎ ‎4．把名新生分到四个班，每个班分配名且新生甲必须分配到班，则不同的分配方法有 （ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】把名新生分到四个班，每个班分配名且新生甲必须分配到班，只需将剩余的三人分配到三个班级，利用排列，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，把名新生分到四个班，每个班分配名且新生甲必须分配到班，‎ 只需将剩余的三人分配到三个班级，共有种，‎ 所以把名新生分到四个班，每个班分配名且新生甲必须分配到班，则不同的分配方法有种，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知6件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这6件产品中任取3件，恰有一件次品的概率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从这6件产品中任取3件，共有种取法，其中恰有一件次品，共有种取法，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，现从这6件产品中任取3件，共有种不同的取法，‎ 其中恰有一件次品，共有种取法，所以概率为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及组合数的应用，其中解答中认真审题，利用组合数的公式，求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎6．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件为“第一次正面向上”，事件 为“后两次均反面向上”，则概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件“第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件“第一次正面向上”且事件 “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有种不同的结果，‎ 其中事件“第一次正面向上”，共有4种不同的结果，‎ 又由事件“第一次正面向上”且事件 “后两次均反面向上”，仅有1中结果，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A和事件所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.‎ ‎7．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。若为直角三角形的三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：‎ 在四面体中，，为顶点所对面的面积，‎ 分别为侧面的面积，则下列选项中对于满足的关系描述正确的为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作四面体，，于点，连接，结合勾股定理可得答案。‎ ‎【详解】‎ 作四面体，，于点，连接，如图 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 即 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中，属于简单题。‎ ‎8．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：‎ x ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ y ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（ ）‎ A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出样本中心，代入回归直线的方程，求得，得出回归直线的方程，令，解得，进而求解相应点的残差，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据表中的数据，可得，‎ 把样本中心代入回归方程，即，解得，‎ 即回归直线的方程为，‎ 令，解得，‎ 所以相应点的残差为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎9．某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先放置有条件的2道工序，有种，再将剩余的3道工序，有种最后由分步计数原理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，其中这2道工序，共有种不同的方法，‎ 剩余的3道工序，共有种不同的方法，‎ 由分步计数原理，可得这种产品的加工排列顺序的方法数为种，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的应用，其中解中认真审题，合理利用排列组合和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知随机变量服从正态分布，若，则等于 （ ）‎ ‎[附：]‎ A． B． C． D．D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，再根据正态分布的对称性，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，知，‎ 则，‎ 所以要使得，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎11．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望和方差分别为 （ ）‎ A．和 B．和 C．和 D．和 ‎【答案】A ‎【解析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设事件在每次试验中发生的概率为，‎ 因为事件至少发生一次的概率为，即，解得，‎ 则事件发生的次数服从二项分布，‎ 所以事件发生的次数的期望为，方差为 ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12．已知函数在区间有极值，且函数在区间上的最小值不小于 ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导函数，根据函数在上有极值，求得，再根据函数在最小值不小于，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，‎ 因为函数在上有极值，则，即，解得，‎ 则函数在先增后减，且，，‎ 要使得函数在上的最小值不小于，则，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性，极值与最值的应用，其中解答中熟练应用导数求解函数的单调性与极值、最值，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13． _____‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据微积分基本定理和定积分的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记微积分基本定理，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知曲线在点处的切线方程是_____________________‎ ‎【答案】2x-y-1=0‎ ‎【解析】求出函数的导数，计算得，即可求出切线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，且，‎ 故切线方程是：y-1=2（x-1），即y=2x-1，‎ 故答案为：y=2x-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义，合理利用导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎15．某学习小组有男生5人，女生3人，现选3人分别去参加3种不同的学习活动，则3人有男生又有女生的安排方法共有________种，(用数字作答)．‎ ‎【答案】270‎ ‎【解析】由题意，选3人分别去参加3种不同的学习活动，则3人有男生又有女生，可分3人中包含2男1女和3人中包含1男2女，利用排列组合的知识分别求解，再利用分类计数原理，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，选3人分别去参加3种不同的学习活动，则3人有男生又有女生，可分为两类情况：‎ ‎（1）3人中包含2男1女，共有种不同的安排方法；‎ ‎（2）3人中包含1男2女，共有种不同的安排方法，‎ 由分类计数原理可得，共有种不同的安排方法，‎ 故答案为：270种.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的综合应用，其中解答中认真审理，合理分类，利用排列组合的知识准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题..‎ ‎16．设,则代数式=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项展开式，两边求导得，令，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，‎ 两边求导可得：，‎ 令，可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的性质及其应用，以及导数的应用，其中解答中对二项展开式两边求导，再，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数，，其中.‎ ‎（1）若复数为实数，求的取值范围；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由复数为实数，则，即可求解的取值范围；‎ ‎（2）根据题意，求得，由模的计算公式得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由复数为实数，则，解得，‎ 即复数为实数，求的取值范围为；‎ ‎（2）因为， ‎ 所以， ‎ 故的最小值为，此时 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知函数，，‎ ‎（1）计算：，的值； ‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，猜想与的大小关系，并证明你的结论。‎ ‎【答案】（1），0；（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意，函数，，代入和，即可求解；‎ ‎（2）化简可得，当时，可得，，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，，‎ 可得， ‎ ‎（2）猜想：‎ 因为 当时，可得，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数解析式的求解问题，以及函数的比较大小，其中解答中根据函数的解析式，代值准确运算，以及合理化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．某市春节期间7家超市的广告费支出（万元）和销售额（万元）数据如下：‎ 超市 A B C D E F G 广告费支出 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎19‎ 销售额 ‎19‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎52‎ ‎53‎ ‎54‎ ‎（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市应支出多少万元广告费，能获得最大的销售额？最大的销售额是多少？（精确到个位数）‎ 参数数据及公式：，，．‎ ‎【答案】（1）；（2）应支出广告费约15万元，最大销售额约为57万元 ‎【解析】(1)求得，，代入公式，求得 ‎，进而求得 ‎，即可得到回归直线的方程；‎ ‎（2）由，可得二次函数回归模型比线性回归模型好，令，求得，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，求得，，‎ 所以 ‎ 又由， ‎ 所以与的线性回归方程是.‎ ‎（2）因为，可得二次函数回归模型比线性回归模型好，‎ 令，‎ 所以超市要获得最大的销售额，应支出广告费约15万元，最大销售额约为57万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 . ‎ ‎（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；‎ ‎（2）若展开式中的常数项为，求的值.‎ ‎【答案】（1）64；（2）‎ ‎【解析】（1）由二项式的展开式，共有项，得到，解得， 进而可求解展开式的二项式系数的和；‎ ‎（2）由，求得二项式的展开式的通项，确定出或，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，二项式的展开式，共有项， ‎ 则，解得， 所以展开式中所有二项式系数之和为.‎ ‎（2）由，‎ 则的通项为，‎ 其中， ‎ 令或，截得或，‎ 所以展开式中的常数项为,解.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式的通项的应用，以及二项式系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项和二项展开式的系数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：‎ 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/千元 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 月薪/千元 ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎（1）若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位，记这两人被甲、乙两家公司的C职位录用的人数和为，求的分布列；‎ ‎（2）根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由。‎ ‎（3）若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）0.49‎ ‎【解析】（1）由题意知，得到随机变量可能取值为 ‎，求得相应的概率，即可得出分布列；‎ ‎（2）利用公式，分别求解甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量期望与方差，即可得到结论； ‎ ‎（3）设小王和小李的月薪分别为，由=++，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，这两人被甲、乙两家公司的C职位录用的人数和为，所以随机变量可能取值为，‎ 其中，，‎ ‎,‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.64‎ ‎0.32‎ ‎0.04‎ ‎（2）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，‎ 则E（X）＝5×0.4+6×0.3+7×0.2+8×0.1＝6，‎ E（Y）＝4×0.4+6×0.3+8×0.2+10×0. 1＝6，‎ D（X）＝（5﹣6）2×0.4+（6﹣6）2×0.3+（7﹣6）2×0.2+（8﹣6）2×0.1＝1，‎ D（Y）＝（4﹣6）2×0.4+（6﹣6）2×0.3+（8﹣6）2×0.2+（10﹣6）2×0.1＝4，‎ 则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），‎ 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；‎ 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； ‎ ‎（3）设小王和小李的月薪分别为（千元），则 ‎=++ ，‎ 所以小王月薪高于小李的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的综合应用，以及离散型随机变量的分布列与期望、方差的应用，其中解答中认真审题，根据概率的计算公式，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）可知，当时，没有两个零点；当时，求得，‎ 若函数有两个零点，则，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，则，‎ 当，函数在上单调递增； ‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，当时，，‎ 故在上单调递减，在上单调递增， ‎ 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，没有两个零点. ‎ 当时，为的唯一极小值点，‎ 故，‎ 若函数有两个零点，则，即，得，‎ 当时，，因为，，‎ 所以在有一个零点，‎ 当 故存在，使，‎ 所以在有一个零点，所以的取值范围值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎