2018届二轮复习（理）专题五 解析几何第1讲学案（全国通用）
第1讲 直线与圆
高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.
真 题 感 悟
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A.－ B.－ C. D.2
解析 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d＝＝1，解得a＝－.
答案 A
2.(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析 圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.
所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.
答案 B
3.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
解析 圆C的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，点C到直线y＝
x＋2a的距离为d＝＝.
又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案 4π
4.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a).
由题意知与的夹角为120°，得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案 (x＋1)2＋(y－)2＝1
考 点 整 合
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.
4.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d
r⇔相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.
热点一 直线的方程
【例1】 (1)设a∈R，则“a＝－2”是直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·山东省实验中学二模)过点P(2，3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________.
解析 (1)当a＝－2时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋4＝0，显然l1∥l2.
当l1∥l2时，由a(a＋1)＝2且a＋1≠－8得a＝1或a＝－2，
所以a＝－2是l1∥l2的充分不必要条件.
(2)依题意，设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
∵点P(2，3)在直线l上.
∴＋＝1，则ab＝3a＋2b≥2，
故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号.
因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值为12.
答案 (1)A (2)12
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2017·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(10.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
∴圆C的半径r＝|CM|＝＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，
则有解得
所以圆的标准方程为＋y2＝.
答案 (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)＋y2＝
探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
【训练2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A.2 B.8
C.4 D.10
(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为________.
解析 (1)由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋
(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
令x＝0，得(y＋2)2＝24，∴y1＝－2－2，y2＝－2＋2，因此|MN|＝|y1－y2|＝4.
(2)设圆心(a>0)，半径为a.
由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2.
所以圆心为(2，1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案 (1)C (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
热点三 直线与圆的位置关系
命题角度1 圆的切线问题
【例3－1】 (2017·郑州调研)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.
解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P(2，－1)，当AP与直线mx－y－2m－1＝0垂直，即点P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，
∴半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案 (x－1)2＋y2＝2
命题角度2 圆的弦长相关计算
【例3－2】 (1)(2017·菏泽二模)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________.
(2)(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析 (1)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.
因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0，0)，半径r＝2，
∴圆心(0，0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.
如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.
∵直线l的方程为x－y＋6＝0，
∴直线l的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝＝＝4.
答案 (1)x＋y－3＝0 (2)4
探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.
2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
【训练3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝
＝2，
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2，
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的范围为[2－2，2＋2].
1.解决直线方程问题应注意：
(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求圆的方程两种主要方法：
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.
3.直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝，弦长公式|AB|＝2(弦心距d).
4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，
充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.
一、选择题
1.(2017·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
解析 “直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件.
答案 A
2.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析 依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.
∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2.
故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案 B
3.(2017·济南调研)若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为( )
A.1 B.－3 C.1或－3 D.2
解析 ∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝.
又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.
∴圆心C到直线的距离d＝＝，
因此＝，∴m＝1或m＝－3.
答案 C
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
解析 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，
因此圆心到原点的距离d＝＝.
答案 B
5.(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C：x2＋y2－4x＝0相切于点P(P在第一象限内)，则过点P且于直线x－y＝0垂直的直线l的方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0
C.x＋y－2＝0 D.x＋y－6＝0
解析 圆C：x2＋y2－4x＝0的标准方程(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C(2，0)，半径r＝2.
又过点(－2，0)的直线与圆C相切于第一象限，
∴易知倾斜角θ＝30°，切点P(1，)，
设直线l的方程为x＋y＋c＝0，代入点P(1，)，
得c＝－4.
∴直线l的方程为x＋y－4＝0.
答案 B
二、填空题
6.(2017·广安调研)过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________.
解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.
又|AB|＝4，r＝3，
∴圆心(2，3)到l的距离d＝＝.
因此＝，解得k＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
7.(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________.
解析 法一 由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α).
·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
法二 由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，
则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
答案 6
8.(2017·池州模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________.
解析 由题意，＝＝，∴a＝40，b＝24，
∴直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，
A(1，－1)到直线的距离为＝，
∵直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，∴r＝，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝
三、解答题
9.已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程.
解 解方程组得交点P(1，2).
①若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而kAB＝＝－，
由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
②若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点，
由两点式得直线l的方程为＝，
即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为
x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
10.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得
查看更多
