【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试25解三角形的应用作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试25解三角形的应用作业

考点测试25　解三角形的应用 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础小题 ‎1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)‎ A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ 答案　B 解析　根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．‎ ‎2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝，BC＝2，则A＝(　　)‎ A．135° B．45°‎ C．30° D．45°或135°‎ 答案　B 解析　因为A，B，C成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得＝，则sinA＝．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故选B．‎ ‎3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为(　　)‎ A．3 B． C． D．3 答案　B 解析　由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD＝t．由余弦定理可得BC2＝62＋(3)2－2×6×3cos∠BAC＝90，解得BC＝3．由 cos∠ABC＝＝，‎ 解得t＝．故选B．‎ ‎4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)‎ A． 海里/小时 B．34 海里/小时 C． 海里/小时 D．34 海里/小时 答案　A 解析　如图所示，在△PMN中，＝，‎ ‎∴MN＝＝34．‎ ‎∴v＝＝(海里/小时)．故选A．‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若＝＝，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为30°的直角三角形 D．有一个角为30°的等腰三角形 答案　B 解析　由正弦定理，得＝＝，又＝＝，两式相除，得1＝tanB＝tanC，所以B＝C＝45°．所以A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形．故选B．‎ ‎6． 如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 答案　D 解析　由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．‎ ‎7．一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30 海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．‎ 答案　70‎ 解析　依题意画出图形，连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN2＝502＋802－2×50×80×cos60°，即AN＝70．应用余弦定理可得cos∠ANM＝＝，所以sin∠ANM＝．在△ANB中，应用余弦定理可得AB2＝(30)2＋702－2×30×70×cos∠ANB，而cos∠ANB＝cos(150°－∠ANM)＝cos150°cos∠ANM＋sin150°·sin∠ANM＝，‎ 所以AB＝＝70．‎ ‎8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为‎10 m，则旗杆的高是________m．‎ 答案　10(3－)‎ 解析　由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin60°＝×sin60°＝10(3－)．‎ 二、高考小题 ‎9．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(　　)‎ A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－．故选C．‎ 解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，在Rt△ADC中，AC＝BC，‎ sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，又因为∠B＝，‎ 所以cos∠BAC＝cos＝cos∠DAC·cos－sin∠DAC·sin＝×－×＝－．故选C．‎ ‎10．(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．‎ 答案　　(2，＋∞)‎ 解析　依题意有acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，则tanB＝，∵0<∠B<π，∴∠B＝．‎ ＝＝＝＋＝＋·，∵∠C为钝角，∴－∠A>，‎ 又∠A>0，∴0<∠A<，则0，故>＋×＝2．‎ 故的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎11．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则‎4a＋c的最小值为________．‎ 答案　9‎ 解析　解法一：依题意画出图形，如图所示．‎ 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，‎ 即csin60°＋asin60°‎ ‎＝acsin120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1，‎ ‎∴‎4a＋c＝(‎4a＋c)＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”．‎ 解法二：作DE∥CB交AB于E，‎ ‎∵BD为∠ABC的平分线，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵DE∥CB，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴＝，＝．‎ ‎∴＝＋．‎ ‎∴＝＋2，‎ ‎∴1＝2＋2＋2··||·||×－，‎ ‎∴1＝，∴ac＝a＋c，∴＋＝1，‎ ‎∴‎4a＋c＝(‎4a＋c)＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”．‎ 解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则D(1，0)，∵AB＝c，BC＝a，‎ ‎∴A，c，C，－a．‎ ‎∵A，D，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴1－－a＋c－1＝0，‎ ‎∴ac＝a＋c，∴＋＝1，‎ ‎∴‎4a＋c＝(‎4a＋c)＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”．‎ ‎12．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．‎ 答案　(－，＋)‎ 解析　解法一：如图所示，‎ 因为∠A＝∠B＝∠C＝75°，‎ 所以∠D＝135°．‎ 因为BC＝2，‎ 所以当点D与点C重合时，‎ 由正弦定理可得＝，解得AB＝－．‎ 当点D与点A重合时，由正弦定理可得 ＝，解得AB＝＋．‎ 因为ABCD为平行四边形，‎ 所以AB∈(－，＋)．‎ 所以AB的取值范围是(－，＋)．‎ 解法二：如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BFAD，所以AD＝3．‎ ‎(2)在△ABD中，＝，‎ 又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝，‎ 所以sin∠ADB＝，‎ 则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝．‎ 因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，‎ 所以cosC＝．‎ 在Rt△ADC中，cosC＝，‎ 则tanC＝＝＝，所以AC＝3．‎ 则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC ‎＝×3×3×＝6．‎ ‎6．(2018·郑州质检)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝‎2a＋b．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．‎ 解　解法一：(1)因为2ccosB＝‎2a＋b，‎ 所以‎2c·＝‎2a＋b，化简得a2＋b2－c2＝－ab，‎ 所以cosC＝＝－．‎ 又因为0°

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