四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学（理）试题

四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学（理）试题

机密★启用前 乐山市高中2020届第三次调查研究考试 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位，），则“”是“在复平面内所对应的点在第一象限”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知函数是奇函数，且时，，则（ ）．‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎4．已知，，，则、、的大小关系是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量与向量平行，，且，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的列联表：‎ 支付方式 性别 支付宝支付 微信支付 男 ‎40‎ ‎10‎ 女 ‎25‎ ‎25‎ 附表及公式：，‎ 则下列结论正确的是（ ）．‎ A．在犯错的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”‎ B．在犯错的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”‎ C．有％以上的把握认为“支付方式与性别有关”‎ D．有％以上的把握认为“支付方式与性别无关”‎ ‎7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入，，依次输入为1，2，4，则输出的的值为（ ）．‎ A．4 B．10 C．11 D．12‎ ‎8．数列中，已知对任意，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“右”区域内，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知角的始边与的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为点，的面积为，则函数的图象大致是（ ）．‎ A．B．C．D．‎ ‎11．已知是球的内接三棱锥，球的半径为2，且，，，则点到平面的距离为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若函数的所有零点依次记为，，，…，，且，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知函数，则函数在处的切线方程为______．‎ ‎14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______．‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为，、分别为的右顶点和上顶点，直线与直线的交点为，若，且的面积为，则椭圆的标准方程为______．‎ ‎16．我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作．已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．在中，角、、所对的边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量．‎ ‎（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重试污染区AQI平均值；‎ ‎（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在内．‎ ‎①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；‎ ‎②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI值不小于200的天数的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，为线段上的动点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当二面角的余弦值为时，证明：．‎ ‎20．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于、两点．‎ ‎（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程和定值；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，判断并说明函数的零点个数．若函数所有零点均在区间内，求的最小值．‎ ‎（二）选考题 ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知、是曲线上任意两点，且，求面积的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知，，为正数，且满足．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：．‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】，故，故选D．‎ ‎2．B ‎【解析】在复平面内所对应的点在第一象限，有，，得，‎ 故“”是“在复平面内所对应的点在第一象限”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎3．D ‎【解析】因为是奇函数，所以，故选D．‎ ‎4．B ‎【解析】由题得，，‎ ‎，故有，故选B．‎ ‎5．C ‎【解析】因为向量与向量平行，可设，‎ 由可得，得，‎ 所以，故选C．‎ ‎6．C ‎【解析】由列联表得到，，，，‎ 代入，‎ 解得，‎ 因为，‎ 所以有99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选C．‎ ‎7．D ‎【解析】输入时，，，此时不成立；‎ 输入时，，，此时不成立；‎ 输入时，，，此时成立；‎ 输出的的值为12，故选D．‎ ‎8．A ‎【解析】由，当时，，‎ 两式相减得，‎ 又，满足，则．‎ 所以数列是首项为，公比的等比数列，‎ 则是首项为，的等比数列，‎ 故，故选A．‎ ‎9．C ‎【解析】双曲线的渐近线为，且“右”区域是由不等式组所确定，‎ 又点在“右”区域内，于是有，即，‎ 因此双曲线的离心率，故选C．‎ ‎10．A ‎【解析】由题知点，点，‎ 则，故排除A、B，‎ 又因为当时，，故选A．‎ ‎11．B ‎【解析】由题意知，，，四点都落在球面上，且为直径，‎ 所以的中点即为球心，所以，‎ 因为，，所以，‎ 又知，所以为正三角形，取中心，‎ 则面，‎ 所以，，‎ 因为，所以．‎ 又因为中点为，‎ 所以点到平面的距离为点到平面的2倍，即距离为，故选B．‎ ‎12．A ‎【解析】函数，‎ 令，得，，‎ 即的对称轴方程为，，‎ 因为的最小正周期为，，‎ 当时，可得轴右侧第一条对称轴为，‎ 当时，，所以在上有28条对称轴，‎ 根据正弦函数性质可知，函数与的交点有29个，‎ 且，关于对称，，关于对称，…，‎ 即，，…，，‎ 以上各式相加得：，‎ 故选A．‎ ‎13．‎ ‎【解析】因为，则，得，‎ 则，‎ 故切线方程为，即．‎ ‎14．‎ ‎【解析】设拼成的正方形得面积为1，‎ 由图知，最大的三角形面积为，最小的三角形面积为，‎ 平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，‎ 由此可得阴影部分的面积为，则所求的概率为．‎ ‎15．‎ ‎【解析】由，且（为坐标原点），‎ 得，所以，，，‎ 又因为，解得，‎ 所以，，故椭圆的标准方程为．‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 所以，故，，‎ 令，‎ 则 ‎，‎ 所以单调递增，所以，则，‎ 因为，所以，则，‎ 解得，‎ 综上所述，．‎ ‎17．【解析】（1）由得 ‎，‎ 由正弦定理得，即，‎ 所以，‎ 因为，所以．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 即，所以，即，‎ 所以．‎ ‎18．解：（1）设重度污染区AQI平均值为，‎ 则，解得．‎ ‎（2）①AQI在上的有天，‎ AQI在上的有天，‎ AQI在上的有天，‎ 所以11月份AQI不小于150天的共天．‎ 即能参加户外活动的概率为．‎ ‎②AQI不小于170天的共7天，不小于200天的共2天，的所有可能取值为0，1，2．‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则．‎ ‎19．【解析】（1）证明：取的中点，连接、，‎ 因为、分别为、的中点，‎ 所以，，，，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）不妨设，‎ 由余弦定理得，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 设，，，，‎ 所以，设平面的一个法向量为，‎ 则，，‎ 则，得，‎ 可取，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 所以，解得，‎ 此时，，‎ 所以，即．‎ ‎20．【解析】依题意，点的坐标为，可设，，‎ 直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 即当时，面积的最小值为．‎ ‎（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线代入，得，‎ 则，‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，，‎ 则，，‎ 于是有 ‎，‎ 当，即时，为定值．‎ 故满足条件的直线存在，其方程为．‎ ‎21．【解析】（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，所以在上单调递增；‎ 当时，令，得或（舍）．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时，在上单调递增．‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，单调递增，‎ ‎，，‎ 则，故不存在零点．‎ 当时，，‎ 在上单调递减，‎ 所以，，‎ 所以，所以单调递增．‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得．‎ 当时，，，‎ 所以单调递减，‎ 又，，‎ 所以存在，使得，‎ 当，，单调递增；‎ 当，，单调递减；‎ 又，．‎ 因此，在上恒成立，故不存在零点．‎ 当时，，‎ 所以单调递减，‎ 因为，所以，单调递减．‎ 又，，‎ 所以存在唯一的，使得，‎ 当时，，故不存在零点．‎ 综上，存在两个零点，，且，，‎ 因此的最小值为3．‎ ‎22．【解析】（1）消去参数，得到曲线的标准方程为，‎ 故曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）在极坐标系中，设，，‎ 其中，，，‎ 由（1）知：，，‎ 则的面积，‎ 即 ‎，‎ 当时，，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎23．【解析】（1）证明：因为，为正数，所以，‎ 同理可得，，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 即．‎ ‎（2）证明：要证，‎ 只要证即可，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当，，时等号成立，得证．‎