【数学】2020届一轮复习人教B版证明不等式的基本方法作业
证明不等式的基本方法
(25分钟 40分)
1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1
0，所以不等式的解集是.
4．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2，5]
解析：选A.x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
5.(10分)已知函数f(x)=|x+2|.
(1)解不等式f(x)>4-|x+1|.
(2)已知a+b=2(a>0，b>0)，求证：-f(x)≤+.
【解析】(1)不等式f(x)>4-|x+1|，
即|x+1|+|x+2|>4，
当x<-2时，不等式化为-(x+1)-(x+2)>4，解得x<-3.5；
当-2≤x≤-1时，不等式化为-(x+1)+(x+2)>4，无解；
当x>-1时，不等式化为(x+1)+(x+2)>4，解得x>0.5；
综上所述：不等式的解集为(-∞，-3.5)∪(0.5，+∞).
(2)因为+=(a+b)
=≥4.5，
当且仅当a=，b=时等号成立.
由题意知，-f(x)
=-|x+2|≤=4.5，
所以-f(x)≤+.
6.(10分)设函数f(x)=|x-3|，g(x)=|x-2|.
(1)解不等式f(x)+g(x)<2.
(2)对任意的实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证：|x-2y+1|≤3.
【解析】(1)当x<2时，原不等式可化为
3-x+2-x<2，可得x>，所以3时，原不等式可化为x-3+x-2<2，可得x<，所以32|m-n|.
【解析】(1)依题意
f(x)=|x-1|-|x+2|
=
由-2<-2x-1<0解得-0，故|1-4mn|2>4|m-n|2，故|1-4mn|>2|m-n|.
8.(10分)(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|，不等式f(x)>8-|2x-2|的解集为M.
(1)求M.
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)-f(-2b).
【解析】(1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得
|x+4|+|2x-2|>8.
①当x≤-4时不等式转化为-x-4-2x+2>8，
解得x<-，所以此时x≤-4；
②当-48，
解得x<-2，所以此时-48，
解得x>2，所以此时x>2，
综上，M={x|x<-2或x>2}.
(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|
≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|，
所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b)，只需证
|ab+4|>|2a+2b|，
即证(ab+4)2>(2a+2b)2，
即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2，
即证a2b2-4a2-4b2+16>0，
即证(a2-4)(b2-4)>0.
因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，
所以(a2-4)(b2-4)>0成立，所以原不等式成立.
