【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量素养与能力突破学案

【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量素养与能力突破学案

专题5 平面向量 学 思想 训练题组 分类讨论思想 例 已知a＝（1，2），b＝（–3，2），当 为何值时， a＋b与a–3b平行？平行时它们是同向还是反向？‎ ‎【思路分析】由a，b的坐标→求 a＋b，a–3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求 的值→判断方向 ‎【方法技巧】解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．‎ ‎1．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___________，|a–b|的最大值为___________．‎ ‎2．在△ABC中，=（2，3），=（1， ），且△ABC的一个内角为直角，则 的值___________．‎ ‎3．已知a＝（–2，–1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为___________．‎ ‎4．已知向量a，b求作向量c，使a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗？ 学 ‎ 数形结合思想 例 已知，且与的夹角为，则与的夹角是___________，与的夹角是___________．‎ ‎【思路分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．‎ ‎【方法技巧】（1）两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．‎ ‎（2）求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出夹角．‎ ‎5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（　　）‎ A． ‎[0，] B．[，] ‎ C．[，] D．[，]‎ ‎6．设x，y满足约束条件，向量a=（y–2x，m），b=（1，1），且a∥b，则m的最小值为 （　　）‎ A．6 B．–6 C． D．学 ]‎ ‎7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|–|，其中O为原点，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．–2 C．2或–2 D．或– ‎8．已知a=（3，4），|a–b|=1，则|b|的取值范围是___________． 学_ _ _X_X_ ]‎ 转化与化归思想 例 已知圆C：（x–3）2＋（y–3）2＝4，及点A（1，1），M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA ‎9．若，则△ABC为（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．‎ ‎【思路分析】要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．‎ ‎【方法技巧】向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．‎ ‎10．已知P＝{a|a＝（1，0）＋m（0，1），m∈R}，Q＝{b|b＝（1，1）＋n（–1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（　　）‎ A．{（1，1）} B．{（–1，1）} ‎ C．{（1，0）} D．{（0，1）}‎ ‎11．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a–c）·（b–c）＝0，则|c|的最大值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D． ‎12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（–1，3），若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为（　　）‎ A．3x＋2y–11＝0 B．（x–1）2＋（y–2）2＝5 ‎ C．2x–y＝0 D．x＋2y–5＝0 ]‎ 函数方程思想 例 已知＝c，＝d，试用c，d表示和．‎ ‎【思路分析】本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量．根据平面向量的基本定理有，当a，b，c的坐标已知时，该式实际上是一个关于，的二元一次方程组，由此可确定 ‎13．（2017·潍坊二模）设a，b是非零向量，若函数 f（x）＝（xa＋b）·（a–xb）的图像是一条直线，则必有（　　）‎ A．a⊥b B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|‎ ‎14．设向量a，b满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎15．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是 ‎ ‎．‎ ‎【方法技巧】本题求解利用了方程思想，首先利用三角形法则表示出向量，，然后解关于，的方程组，方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到．所谓方程思想，是指在解决问题时，用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决． 学 ‎ ‎16．如图，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知点O是△ABC内的一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°．设=a，=b，=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，试用a和b表示c． 学 ]‎ ‎1．【答案】4，20‎ ‎【解析】当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a–b|＝||a|–|b||．‎ 当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|–|b||，|a–b|＝|a|＋|b|．‎ 当a与b不共线时，||a|–|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|–|b||＜|a–b|＜|a|＋|b|，‎ 因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12–8＝4；‎ 当a与b共线且反向时，|a–b|取最大值为12＋8＝20．‎ ‎2．【答案】或或 ‎3．【答案】∪（2，＋∞）‎ ‎【解析】由题意cos α＝＝，∵90°<α<180°，∴–1

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