2018届二轮复习不等式课件

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第 2 讲　不等式 专题一 　 集合与常用逻辑用语、不等式 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) ，再求相应一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 . 2. 简单分式不等式的 解法 3. 指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解 . 解析　 令 2e x － 1 >2( x <2) ，解得 1< x <2. √ 答案 解析 答案 解析 (2)(2017 届安徽师大附中期中 ) 已知不等式 ax 2 － 5 x ＋ b >0 的解集为 { x | － 3< x <2 } ，则不等式 bx 2 － 5 x ＋ a >0 的解集为 ______________ _ _. 思维升华 ∴ bx 2 － 5 x ＋ a >0 可化为 6 x 2 － x － 1>0 ⇔ (3 x ＋ 1)(2 x － 1)>0 ， 思维升华　 (1) 对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化 . (2) 求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 得不等式的解集 . (3) 含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论 . 跟踪演练 1 　 (1)(2017 届安徽淮北一中模拟 ) 不等式 ≥ 0 的解集 是 _________ _ _. { x |1< x ≤ 5} 答案 解析 (2) 已知函数 f ( x ) ＝ ln| x | ，则 f ( x )>1 的解集为 _______________________. ( － ∞ ，－ e) ∪ (e ，＋ ∞ ) 当 x >0 时，解 f ( x ) ＝ ln x >1 ，得 x >e ，即 x 的取值范围是 (e ，＋ ∞ ) ； 当 x <0 时，解 f ( x ) ＝ ln( － x )>1 ， 得 x < － e ，即 x 的取值范围是 ( － ∞ ，－ e). 综上可得 f ( x )>1 的解集为 ( － ∞ ，－ e) ∪ (e ，＋ ∞ ). 答案 解析 热点二　基本不等式的应用 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是： (1) 如果 x >0 ， y >0 ， xy ＝ p ( 定值 ) ，当 x ＝ y 时， x ＋ y 有 最小值 ( 简记为：积定，和有最小值 ) ； (2) 如果 x >0 ， y >0 ， x ＋ y ＝ s ( 定值 ) ，当 x ＝ y 时， xy 有最大 值 ( 简记为：和定，积有最大值 ). 例 2 　 (1) 若 a >0 ， b >0 ， lg a ＋ lg b ＝ lg( a ＋ b ) ，则 a ＋ b 的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 解析　 由题意，得 lg a ＋ lg b ＝ lg( a ＋ b ) ， 答案 解析 √ 因为 a >0 ， b >0 ， (2)(2017 届甘肃肃南裕固族自治县一中月考 ) 已知 a > b ，且 ab ＝ 1 ， 则 的 最小值是 ________. 答案 解析 思维升华 思维升华　 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ” ( 即条件要求字母为正数 ) 、 “ 定 ” ( 不等式的另一边必须为定值 ) 、 “ 等 ” ( 等号成立的条件 ) 的条件，否则会出现错误 . 跟踪演练 2 　 (1)(2017 届昆明摸底统测 ) 已知 a >1 ， b >1 ，且 ab ＋ 2 ＝ 2( a ＋ b ) ，则 ab 的最小值为 ________. 答案 解析 (2)(2017 届无锡市普通高中期中 ) 已知正实数 a ， b 满足 a ＋ 3 b ＝ 7 ， 则 的 最小值为 _____ ___ _. 答案 解析 热点三　简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 ( 或边界上的点 ) ，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决 . 例 3 　 (1)(2017· 全国 Ⅱ ) 设 x ， y 满足约束条件 则 z ＝ 2 x ＋ y 的最小值是 A. － 15 B . － 9 C.1 D.9 √ 答案 解析 解析　 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 . 将目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 化为 y ＝－ 2 x ＋ z ， 作出 直线 y ＝－ 2 x ， 并平移该直线知， 当直线 y ＝－ 2 x ＋ z 经过点 A ( － 6 ，－ 3) 时， z 有最小值，且 z min ＝ 2 × ( － 6) － 3 ＝－ 15. 故选 A. (2) 若 x ， y 满足 且 z ＝ ax ＋ 2 y 仅在点 (1,0) 处取得最小值，则 a 的 取值 范围是 A.( － 1,2) B .( － 2,4) C.( － 4,0] D .( － 4,2) √ 答案 解析 思维升华 解析　 作出不等式组对应的平面区域如图，当 a ＝ 0 时，显然成立； 综上得－ 4< a <2 ，故选 D. 思维升华　 (1) 线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围 . (2) 一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得 . － 5 答案 解析 解析　 作出可行域如图阴影部分所示 . ∴ z min ＝ 3 × ( － 1) － 2 × 1 ＝－ 5. 答案 解析 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京改编 ) 若 x ， y 满足 则 x ＋ 2 y 的最大值为 ____. 9 答案 解析 1 2 3 4 解析　 作出可行域如图阴影部分所示 . ∴ z max ＝ 3 ＋ 2 × 3 ＝ 9. 1 2 3 4 2.(2016· 浙江改编 ) 已知实数 a ， b ， c ，则下列正确的是 _____.( 填序号 ) ① 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a ＋ b 2 ＋ c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 ； ② 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a 2 ＋ b － c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 ； ③ 若 | a ＋ b ＋ c 2 | ＋ | a ＋ b － c 2 | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100 ； ④ 若 | a 2 ＋ b ＋ c | ＋ | a ＋ b 2 － c | ≤ 1 ，则 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＜ 100. ④ 答案 解析 1 2 3 4 解析　 对 ① ，当 a ＝ b ＝ 10 ， c ＝－ 110 时，此式不成立； 对 ② ，当 a ＝ 10 ， b ＝－ 100 ， c ＝ 0 时，此式不成立； 对 ③ ，当 a ＝ 10 ， b ＝－ 10 ， c ＝ 0 时，此式不成立 . 故 填 ④ . 3.(2016· 上海 ) 设 x ∈ R ，则不等式 | x － 3|<1 的解集为 ______. (2,4) 答案 解析 解析　 由－ 1< x － 3<1 ，得 2< x <4 ，故解集为 (2,4). 1 2 3 4 4.(2017· 天津 ) 若 a ， b ∈ R ， ab >0 ， 则 的 最小值为 _____. 4 答案 解析 解析　 ∵ a ， b ∈ R ， ab ＞ 0 ， 1 2 3 4 押题预测 答案 解析 押题依据　 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数 ( 和式或积式 ) 的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合 . 押题依据 1 2 3 √ 4 1 2 3 当且仅当 x ＝ y 时取等号， ∴ ( x ＋ y ) 2 － 5( x ＋ y ) ＋ 4 ≤ 0 ， 解得 1 ≤ x ＋ y ≤ 4 ， ∴ x ＋ y 的最大值是 4. 4 答案 解析 押题依据　 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容 . 往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式 . 押题依据 1 2 3 √ 4 ∴ x 2 － x ＋ 1 ≥ a 2 － a 对任意实数 x 恒成立 . 1 2 3 4 3. 设变量 x ， y 满足 约束条件 则 目标函数 z ＝ 4 x ＋ y 的最小值为 A . － 6 B.6 C.7 D.8 √ 答案 解析 押题依据　 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点 . 押题依据 1 2 3 4 当直线 z ＝ 4 x ＋ y 过点 C (1,3) 时， z 取得最小值且最小值为 4 ＋ 3 ＝ 7 ，故选 C. 1 2 3 4 4. 若 不等式 对 任意 a ， b ∈ (0 ，＋ ∞ ) 恒成立，则实数 x 的取值范围是 A.( － 4,2) B.( － ∞ ，－ 4) ∪ (2 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 2) ∪ (0 ，＋ ∞ ) D.( － 2,0) √ 答案 解析 押题依据　 “ 恒成立 ” 问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点 . 押题依据 1 2 3 4 所以 x 2 ＋ 2 x <8 ，解得－ 4< x <2 ，故选 A. 1 2 3 4