2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－4　第1讲　坐标系

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－4　第1讲　坐标系

第1讲　坐标系 一、知识梳理 ‎1．坐标系 ‎(1)伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．‎ ‎(2)极坐标系 在平面内取一个定点O叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，‎ 则 ‎3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0‎ ‎－α)．‎ ‎4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 常用结论 几种简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－≤θ<)‎ 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)，‎ ‎(2)θ＝α和θ＝π＋α 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ‎(－<θ<)‎ 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a ‎(0<θ<π)‎ 二、教材衍化 ‎1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝，由0≤x≤1，得0≤y≤1，所以θ∈.故选A.‎ ‎2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．‎ 解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为.‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)极坐标与直角坐标的互化致误；‎ ‎(2)求极坐标方程不会结合图形求解致误．‎ ‎1．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)‎ A．ρsin θ＝1　　　　　　 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ 解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.‎ ‎2．在极坐标系中A，B两点间的距离为________．‎ 解析：‎ 法一(数形结合)：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.‎ 法二：因为A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2，2)．‎ 所以|AB|＝＝6.‎ 答案：6‎ ‎　　　　　　平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)‎ ‎1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．‎ ‎(1)5x＋2y＝0；‎ ‎(2)x2＋y2＝1.‎ 解：伸缩变换则 ‎(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．‎ ‎(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．‎ ‎2．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由得 代入曲线C：x2－＝1，得－＝1，‎ 即曲线C′的方程为－＝1，‎ 因此曲线C′的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)．‎ ‎3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．‎ 解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，‎ 因为a>0，b>0，所以a＝3，b＝2. ‎ ‎(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)为所求．‎ ‎(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．　 ‎ ‎　　　　　　极坐标与直角坐标的互化(师生共研)‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎【解】　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或 k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2. ‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．　 ‎ ‎1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ<2π)．‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，‎ 将两方程联立得 解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，‎ 将(0，1)转化为极坐标为即为所求．‎ ‎2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，‎ 所以O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎　　　　　　求曲线的极坐标方程(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；‎ ‎(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．‎ ‎【解】　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：‎ 若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；‎ 若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；‎ 若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ 求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．　 ‎ ‎　(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.‎ ‎(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ 解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.‎ 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.‎ 设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.‎ 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.‎ ‎　　　　　　极坐标方程的应用(师生共研)‎ ‎ (2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解】　(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为 ‎(x－2)2＋y2＝4，‎ 故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋)，其中ρ1>0，ρ2>0，－<θ0<，由(1)知：ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos(θ0＋)．‎ ‎△OAB面积S＝ρ1ρ2sin ＝4cos θ0cos(θ0＋)，‎ S＝2cos2θ0－6sin θ0cos θ0＝(1＋cos 2θ0)－3sin 2θ0＝2cos＋，‎ 当2θ0＋＝0时，即θ0＝－时，cos有最大值1.此时Smax＝3.‎ 故△OAB面积的最大值为3.‎ 极坐标应用中的注意事项 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．‎ ‎(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．　 ‎ ‎1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且点A，B均异于原点O)，当0<α<时，求|OB|2－|OA|2的最小值．‎ 解：(1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 同理，可得C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，‎ 联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，‎ 则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8≥2－8＝8－8(当且仅当sin α＝时取等号)．‎ 所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.‎ ‎2．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值．‎ 解：(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，‎ 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.‎ 因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2，‎ 即sin θ＝2，ρ1＝2sin θ.‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2－2y＝0，‎ 化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，‎ 则曲线C2的圆心坐标为(0，1)，半径为1，‎ 由直线ρcos＝，‎ 得ρcos θcos －ρsin θsin ＝，即x－y＝2，‎ 圆心(0，1)到直线x－y＝2的距离为 d＝＝，‎ 所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·山东省安丘市、诸城市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcos ＝3.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎(2)已知点M(2，0)，直线l的极坐标方程为θ＝，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．‎ 解：(1)C1： 其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，化为极坐标方程为C1：ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)联立C1与l的极坐标方程解得P点极坐标为，‎ 联立C2与l的极坐标方程解得Q点极坐标为，所以PQ＝2，又点M到直线l的距离d＝2sin ＝1，‎ 故△MPQ的面积S＝PQ·d＝1.‎ ‎2．(2020·江西九江模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2：＋y2＝1.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线OT：θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小．‎ 解：(1)由得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ；‎ 由＋y2＝1得C2的极坐标方程为＋ρ2sin2 θ＝1.‎ ‎(2)联立得|OA|＝ρ1＝2cos ＝，‎ 联立得|OB|＝ρ2＝，‎ 所以|AB|＝－.‎ ‎3．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．‎ 解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C得直角坐标方程为y2＝2x.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得t1t2＝，‎ 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.‎ 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ 解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.‎ 因为x2＋y2－2y＝0，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，‎ 所以|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ 因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，‎ 所以6<＋4(1＋sin2α)<9，‎ 所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4.曲线C的参数方程是 (φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线θ＝α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，得直线l的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ 曲线C的参数方程为(φ为参数)，‎ 消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，‎ 则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝，‎ 所以＝＝ ‎＝＝(sin 2a＋cos 2α)＋ ‎＝sin＋，‎ 因为0<α<，所以<2α＋<，‎ 所以

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