专题61 以不变应万变--定值问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题61 以不变应万变--定值问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

考纲要求:‎ ‎1.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎2.曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．‎ 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；‎ Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2.根与系数的关系：‎ 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．‎ 应用举例:‎ 类型一　定值的证明问题 ‎【例1】【2018届四川省成都市新津中学高三11月月考】已知椭圆的离心率 为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎ (2)设， 直线的方程是， ，整理，设，则是方程的两个根， ‎ ‎（定值），为定值.‎ ‎【例2】【2017届福建省泉州市5月模拟】已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为 ‎（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值为 ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为： ‎ 得 所以，故为定值.‎ ‎②当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，‎ 得，所以，‎ 即，‎ 又点在抛物线上，所以，‎ 于是 综合①②，为定值，且定值为 ‎【例3】【2017届云南省昆明市5月模拟】已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为.‎ 由，所以，‎ 所以 ‎ 因为点在曲线上，所以 ，‎ 化简得 ①，‎ 同理，由可得： ， ‎ 代入曲线的方程得 ②，‎ 由①②得是方程的两个实数根(△>0)，‎ ‎ 所以.‎ 点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ 类型二 定值的探究性问题 ‎【例4】【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.‎ ‎（1）若直线过椭圆的焦点，（ 为半焦距），求直线的斜率的值；‎ ‎（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎（2）①直线斜率不存在时，即， ‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴，即 ‎ 又∵点在椭圆上 ‎ ∴，即 ‎ ∴， ‎ ‎ ∴，故的面积为定值1‎ ‎②当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 联立得： ‎ ‎∴， ， ‎ ‎∴ ‎ 所以三角形的面积为定值1.‎ ‎【例5】【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】如图，椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）．（）斜率之和为定值．‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ ‎（）由题设知，直线的方程为，‎ 将直线方程与椭圆方程联立，‎ ‎，得．‎ 由已知，‎ 设，，，‎ 则，，‎ 从而直线，的斜率之和：‎ ‎．‎ 故直线、斜率之和为定值．‎ ‎【例6】【2017届重庆市第八中学高三12月周考】抛物线的顶点是双曲线：的中心，的焦点与双曲线的右焦点相同．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）直线过点，交抛物线于，两点，探究是否存在平行于轴的直线，被以为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出直线和弦长；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在,弦长为.‎ ‎ ‎ 点评：探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题往往综合运用所学数学知识．经常用到的知识是：二元二（一）次方程组、几何图形的某些特殊性质等．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.求定值问题常见的方法有两种：‎ ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．.‎ ‎2.定值的探索与证明问题：‎ ‎①探索面积、长度、角度、参数为定值时，可先建立“目标函数”表达式，确定其值．‎ ‎②从特殊情况入手，先探求定值，再证明与变量无关．‎ 实战演练:‎ ‎1．【2017届山东省烟台市二模】已知点为圆， ， 是圆上的动点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设， ，过点的直线与曲线交于点（异于点），过点的直线与曲线交于点，直线与倾斜角互补.‎ ‎①直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；‎ ‎②设与的面积之和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎（2）①设的方程为， 联立方程，得 ‎，‎ 设与椭圆除外的另一个交点，则， ，‎ 代入的方程得，所以， ‎ 因为倾斜角互补，所以的方程为，‎ ‎②设直线的方程为,联立方程，得,‎ 由得，设，则，‎ ‎∴. ‎ ‎ 设分别为点到直线的距离, 则 ‎ ，‎ 当时， ,‎ 当时， ,‎ 当时， ，‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎2．【2017届甘肃省河西五市部分高中高三下第二次联考】已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知过的直线交轨迹于不同两点，求证： 与两点连线 的斜率之积为定值．‎ ‎【答案】（1）;（2）4.‎ ‎ 3.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明： 、两点的横坐标之差为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由切线的性质知点到点的距离与到直线的距离相等，即点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由得，‎ 又，所以，‎ 因为直线与曲线相切，所以，解得．‎ 所以，直线的方程为．　‎ 动圆的半径即为点到直线的距离.‎ 当动圆的面积最小时，即最小，而当时；‎ ‎ .‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以当动圆的面积最小时， ，‎ 即当动圆的面积最小时， 、两点的横坐标之差为定值. ‎ ‎4．【2017届云南省昆明市二测】在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎ (2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，‎ 又和在椭圆上，故，则 ‎.‎ 所以.‎ ‎5．【2017届辽宁省实验中学高三下第六次模拟】已知抛物线的方程为： ，过点的一 条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）-2为定值．‎ ‎（Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．‎ 当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，‎ 为定值．‎ ‎6．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】已知点是离心率为的椭圆：上的一点.斜率为的直线交椭圆于两点，且三点不重合.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎（3）求证：直线、直线的斜率之和为定值. ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎ 7．【2017届湖南常德一中高三上学期月考三】已知焦点在轴上的椭圆，其离心率为，过椭圆左焦点与上顶点的直线为.‎ ‎（1）求椭圆的方程及直线的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆上异于的一点.①求证：当直线存在斜率时，两直线的斜率之积为定值，即为定值；②当直线与点满足什么条件时，有最大面积？并求此最大面积.‎ ‎【答案】（1），；（2）①证明见解析；②时的面积有最大值 ‎（2）点是椭圆上的任意一点，依题意不妨设点，即可得到 则①为定值.‎ ‎②不妨设点，‎ 而根据对称性，有 ‎，‎ 当即时的面积有最大值 ‎（即点的离心率相差的奇数倍时）.‎ ‎8．【2017届黑龙江虎林一中高三上期中】已知椭圆的离心率为 ,其长轴长与短轴长的和等于．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，设椭圆的上、 下顶点分别为是椭圆上异于的任意一点，直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为．证明： 线段的长为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ 得：；直线的方程为：，令得：，设，则 ‎，‎ ‎，‎ 又从而为定值．‎ ‎9．【2017届湖南省长沙市一中模拟二】设，，，是椭圆：（）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵为的重心，∴，‎ ‎∵点在椭圆上，故有，‎ 化简得.‎ ‎∴.‎ 又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）.‎ ‎∴.‎ 综上可得，的面积为定值.‎ ‎10.【2016年高考北京理数】已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎ ‎ ‎ ‎