北京市房山区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

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房山区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高一数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.‎ 第一部分（选择题共50分）‎ 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知点，，则线段的中点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】由中点坐标公式，线段的中点坐标为，‎ 即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，属于简单题.‎ ‎2.在平行四边形中，，交于点O，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的平行四边形法则和数乘求解即可.‎ ‎【详解】如图，在中，，交于点，‎ 由平行四边形法则，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则和数乘的几何意义，属于简单题 ‎3.与向量平行的单位向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算即可得出答案.‎ ‎【详解】与向量平行的一个单位向量，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）‎ A. 7 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算分位数的位置，再求出这个数即可.‎ ‎【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，‎ 因为，‎ 所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.‎ ‎5.甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下表所示.‎ 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，.则（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出甲、乙的平均数和方差即可判断.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查学生计算能力，属于基础题.‎ ‎6.下列函数中是奇函数且在上单调递增是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.‎ ‎【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；‎ 对B，函数是非奇非偶函数，故错误；‎ 对C，函数是偶函数，故错误；‎ 对D，函数是奇函数，在上单调递增，故正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，考查学生对基础知识的理解掌握，属于基础题.‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断出、、的范围，然后比较大小即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质，注意比较大小时与0和1比较，属于基础题.‎ ‎8.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.‎ ‎【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，‎ 则，，，‎ 设向量，‎ 则，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题.‎ ‎9.当强度为x的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式分别求出装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度，再求比值即可.‎ ‎【详解】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，‎ 由题意，，‎ 所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为 ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查对数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像，判断的初步范围，再结合指数函数的图像，即可进行选择.‎ ‎【详解】因为函数对应方程的两根为，‎ 数形结合可知.‎ 故函数是单调增函数，且在轴的截距范围是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的单调性，以及图像的辨识，属基础题.‎ 第二部分（非选择题共100分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.计算：________；________.‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数的运算法则计算，利用对数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎.‎ 故答案为：8；1‎ ‎【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，属于简单题.‎ ‎12.按先后顺序抛两枚均匀的硬币，则出现一正一反的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.‎ ‎【详解】由题意，每次抛硬币得到正面或反面的概率均为，‎ 则出现一正一反的概率.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，考查学生理解分析能力，属于基础题.‎ ‎13.为估计池塘中鱼的数量，负责人将条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼________条.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设池塘中原来有鱼条，由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.‎ ‎【详解】由题意，设池塘中原来有鱼条，‎ 则由比值相同得，‎ 解得，‎ 故答案为：350‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的应用，属于简单题.‎ ‎14.已知点，，，则向量的坐标是________；若A，B，C三点共线，则实数________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点和点的坐标直接求出向量的坐标；再由共线定理求出求出即可.‎ ‎【详解】因为，，所以；‎ 向量，‎ 因为A，B，C三点共线，所以，‎ 所以，解得 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标表示和共线定理的坐标表示，属于基础题.‎ ‎15.已知函数当时，的值域为________；若在R上单调递减，则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，分别求出和时的值域，再求并集即可；在R上单调递减，则需要时单调递减和，即可解出答案.‎ ‎【详解】由题意，当时，，‎ 所以当时，的值域为，‎ 当时，单调递减，，又，‎ 所以时的值域为，‎ 所以的值域为；‎ 若在R上单调递减，则需时单调递减，‎ 以及时，，‎ 故，‎ 故.‎ 故答案：；‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值域、指数函数和分段函数的图像性质，属于中档题 ‎16.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.‎ 下面有四个推断：‎ ‎①这名学生阅读量的平均数可能是本；‎ ‎②这名学生阅读量的分位数在区间内；‎ ‎③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；‎ ‎④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.‎ 所有合理推断的序号是________.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由学生类别阅读量图表可知；‎ ‎②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；‎ ‎③设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；‎ ‎④设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.‎ ‎【详解】在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；‎ 在②中，，阅读量在的人数有人，‎ 在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，‎ 故正确；‎ 在③中，设在区间内的初中生人数为，则，‎ 当时，初中生总人数为116人，，‎ 此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，‎ 当时，初中生总人数为131人，，‎ 区间有人，区间有36人，所以中位数在内，‎ 当区间人数去最小和最大，中位数都在内，‎ 所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；‎ 在④中，设在区间内的初中生人数为，则，‎ 当时，初中生总人数为116人，，‎ 此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，‎ 当时，初中生总人数为131人，，‎ 区间有人，所以25%分位数在内，‎ 所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎17.已知函数，其中且.‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）求函数的零点；‎ ‎（3）比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由真数大于0求解即可；‎ ‎（2）由，可得函数的零点；‎ ‎（3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以函数的定义域为；‎ ‎（2）令，即，‎ 则，所以，‎ 所以函数的零点为2；‎ ‎（3），‎ ‎，‎ 当时，函数是增函数，所以，即 当时，函数是减函数，所以，即 ‎【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.‎ ‎18.已知向量，.向量，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求向量，的坐标；‎ ‎（3）判断向量与是否平行，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）向量与平行；详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的模的计算公式求解即可；‎ ‎（2）利用向量坐标的数乘和坐标的加减法运算求解即可；‎ ‎（3）由向量共线的坐标运算判断.‎ ‎【详解】（1）由，得；‎ ‎（2），‎ ‎；‎ ‎（3），‎ 所以向量与平行.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量模求法和平面向量线性运算的坐标形式，属于基础题.‎ ‎19.中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）利用分层抽样在，，三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？‎ ‎（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；‎ ‎（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.‎ ‎【答案】（1）从这三组中抽取的人数分别为3，1，1（2）（3）百元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分层抽样和频率分布直方图先求出再各区间的比例，再求出人数；‎ ‎（2）先求出基本事件的总数，再求出这2人不在同一组的基本事件数，再求概率即可；‎ ‎（3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，，三组的频数的比为 ‎，‎ 所以从中抽取：人，‎ 从中抽取：人，‎ 从中抽取：人，‎ 所以从这三组中抽取的人数分别为3，1，1；‎ ‎（2）记中的3人为，，，中的1人为b，中的1人为c，‎ 从这5人中随机选出2人，则样本空间 含个样本点，‎ 设事件A：选出的2人不在同一组，‎ 则含7个样本点，‎ 所以；‎ ‎（3），‎ 估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为百元.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎20.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.‎ ‎（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；‎ ‎（2）求恰有一人破译密码的概率；‎ ‎（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：‎ 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为所以 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由相互独立事件概率乘法公式求解即可；‎ ‎（2）恰有一人破译密码表示为，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解；‎ ‎（3）小明求解错误的原因是事件和事件不互斥，然后将甲、乙二人中至少有一人破译密码表示为，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立，‎ 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示，‎ 所以；‎ ‎（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥 所以 ‎（3）小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式 正确解答过程如下 ‎“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”‎ 可以表示为，且，，两两互斥 所以 ‎【点睛】本题主要考查概率的求法、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查学生运算求解能力，属于基础题.‎ ‎21.已知函数（且）的图象过点，.若函数在定义域内存在实数t，使得成立，则称函数具有性质M.‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）判断函数是否具有性质M？并说明理由；‎ ‎（3）证明：函数具有性质M.‎ ‎【答案】（1）；（2）函数不具有性质M，详见解析；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入的解析式求解即可；‎ ‎（2）由，可得对数方程，运用对数的性质判断方程的解，即可判断是否具有性质；‎ ‎（3）由，求得方程的根或范围，结合新定义即可得证.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的图象过点，‎ 所以，解得；‎ ‎（2）函数不具有性质M，证明如下：‎ 函数的定义域为，‎ 方程 ‎，‎ 而方程无解，‎ 所以不存在实数使得成立，‎ 所以函数不具有性质M；‎ ‎（3）由（1）知，定义域为R，‎ 方程 ‎，‎ 设，‎ ‎，，‎ 函数的图象连续，且，‎ 所以函数在区间存在零点，‎ 所以存在实数t使得成立，‎ 所以函数具有性质M.‎ ‎【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用、函数方程的关系和零点定理，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.‎