甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

兰州一中 20192020-1 学期期末考试试题 高一数学 命题教师 审题教师 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡). 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．直线 03  ayx 的倾斜角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做 灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到 “新年快乐” 的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ） A. 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新 3．正方体 1111 DCBAABCD  中, 直线 1D A与DB所成的角为（ ） A．30ｏ B．45ｏ C．60ｏ D．90ｏ 4．正六棱锥底面边长为 a，体积为 2 3 a3，则侧棱与底面所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 5. 已知 m，n是不重合的直线，  , 是不重合的平面，给出下列命题： ①若   则,,mm ； ②若  //,//,//,, 则nmnm  ； ③如果 nmnm ,,,   是异面直线，则 与n 相交； ④若 .//,//,,,//,  nnnnmnm 且则且  其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45ｏ ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A. 2 2 B. 1 2 2  C. 2 2 2  D. 1 2 7. 已知两定点 A(-3，5)，B(2，8)，动点 P 在直线 x-y＋1＝0上，则 || PA|+| PB 的最小值 为( ) A．5 13 B． 34 C．5 5 D． 2 26 8．已知正四棱锥的底面边长为 4 ，侧棱长为 62 ，则该正四棱锥外接球的表面积为( ) A． 16 B． 24 C． 36 D． 64 9. 棱台上、下底面面积比为 1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A．1∶7 B．2∶7 C． 7∶19 D．5∶ 16 10. 若某多面体的三视图(单位： cm )如图所示, 则此多面体的体积是（ ） 31A. 6 cm 31B. 2 cm 31C. 3 cm 32D. 3 cm 11. 已知圆的方程 2 2 25x y  ，过 ( 4,3)M  作直线 ,MA MB与圆交于点 ,A B . 且直线 ,MA MB关于直线 3y  对称，则直线 AB的斜率等于（ ） 4A. 3  3B. 4  5C. 4  4D. 5  12. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已 知△ABC的顶点 A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为 x-y+2=0，则顶点 C的坐标是（ ） A. (- 4，0) B. (- 4，0)，(- 2，0) C. (- 4，0)，(- 3，0) D. (- 4，2) 参考公式：若△ABC 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 1 1( , )x y 、 2 2( , )x y 、 3 3( , )x y ，则该 △ABC 的重心的坐标为 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y y    . 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 直线 l1: x+ay+6=0 与 l2: (a-2)x+3y+2a=0 平行，则 a的值为 . 14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的体积是 . 15. 已知关于 x 的方程 21 x x k   有唯一实数解，则实数 k 的取值范围是 . 16. 已知圆 O： 2 2 9x y  ，点 A(-5，0)，若在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在异于 A 的定 点 B，使得对于圆 O 上的任意一点 P，都有 | | | | PB PA 为同一常数. 则点 B 的坐标是 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)设直线 2 3 1 0x y   和圆 2 2 2 3 0x y x    相交于点 A、B. （1）求弦 AB 的垂直平分线方程； （2）求弦 AB 的长. 18．(12 分)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分 别为棱 AB, BC, A1C1的中点. (1) 证明 EF//平面 A1CD； (2) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 19．（12 分）如图所示，矩形 ABCD 中，AC∩BD＝G， AD⊥平面 ABE， AE＝EB＝BC＝ 2，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE． (1) 求证：AE⊥平面 BCE； (2) 求三棱锥 C－BGF 的体积． 20． (12 分)△ABC 中，A(0，1)，AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x＋2y－4＝0，AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2x＋y－3＝0. (1) 求直线 AB 的方程； (2) 求直线 BC 的方程； (3) 求△BDE 的面积． 21. (12 分)如图，四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2， CD= 2 ，AB=AC，CE 与平面 ABE 所成的角为 45°. (1) 证明：AD⊥CE； (2) 求二面角 A-CE-B 的正切值. A C D EB 22. （本小题 12 分） 已知圆 C 过点 M（0，-2）、N（3，1），且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1) 求圆C 的方程； (2) 设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P(2，0) 的直线 l 垂直平分弦 AB？ 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由． 兰州一中 201920201 学期期末考试试题参考答案 高一数学 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B B A D C C D A A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 1 14. 8 6 15. { | 1 1, 2}k k k   或 16. 9 5  三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．（本小题满分 10 分） 解：（1）圆方程可整理为： 4)1( 22  yx ，圆心坐标为（1，0），半径 r=2， 易知弦 AB 的垂直平分线 l过圆心，且与直线 AB 垂直， 而 2 3, 3 2 1  kk AB . 所以，由点斜式方程可得： ),1( 2 30  xy 整理得： 0323  yx . ……………………5分 （2）圆心（1，0）到直线 , 13 3 23 |12|0132 22     dyx 的距离为 故 . 13 5592) 13 3(22|| 22 AB ……………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 证明：(1) 连接 ED，∵ED∥AC, ED= 2 1 AC ， 又∵F 为 A1C1的中点. ∴A1F∥DE, A1F=DE， ∴四边形 A1DEF 是平行四边形， ∴EF∥A1D ， 又 A1D平面 A1CD， EF平面 A1CD， ∴EF//平面 A1CD ……………………6分 (2) ∵A1A⊥平面 ABC, ∴A1A⊥CD ， 又∵D是 AB 的中点, ∴AB⊥CD， ∴CD⊥平面 A1ABB1， 又∵CD平面 A1CD， ∴平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. ……………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 AD 面 ABE，所以 AD AE ， 又 / /BC AD， 所以 BC AE . 因为 ACEBF 面 ，所以 AEBF  . 又因为 .BC BF B 所以 AE 垂直于平面 BCE …………… 6 分 （2）因为 2AE EB BC   ，所以 22EC , 2,2  CFBF , 又因为G为 AC中点， 所以 1GF . …………… 10分 所以 3 122 2 11 3 1   BCFGBGFC VV . …………… 12分 20．(本小题满分 12 分 ) 解：(1)直线 AB 的斜率为 2，∴AB 边所在的直线方程为 012  yx ， …………４分 (2) 由      032 012 yx yx 得       2 2 1 y x , 即直线 AB 与 AC 边中线 BE 的交点为 B( 2 1 ，2). 设点 C 的坐标为 (m，n)， 则由已知条件得 2 4 0, 12 3 0, 2 2 m n m n           解得 2, 1, m n    故 C(2，1). ∴所以 BC 边所在的直线方程为 0732  yx ； ……………………8 分 (3) ∵E 是 AC 的中点, ∴E(1，1), ∴E 到 AB 的距离为：d= 5 2 . 又点 B 到 CD 的距离为：|BD|= 1 2 5 ， ∴S△BDE= 1 2 •d•|BD|= 1 10 . ……………………12 分 另解：∵E 是 AC 的中点, ∴E(1，1), ∴|BE|= 2 5 , 由      042 012 yx yx 得         5 9 5 2 y x , ∴D( 5 2 , 5 9 )， ∴D 到 BE 的距离为：d= 55 2 ， ∴S△BDE= 1 2 •d•|BE|= 1 10 . …………12 分 21. (本小题满分 12 分 ) 证明：(1)如图，取 BC 的中点 H,连接 HD 交 CE 于点 P，连接 AH、AP. ∵AB=AC, ∴AHBC 又∵平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABC平面 BCDE=BC，AH平面 ABC. ∴AH平面 BCDE，又∵CE平面 BCDE. ∴AHCE， 又∵ HC 1 2 CD CD DE   , ∴Rt△HCD∽Rt△CDE， ∴∠CDH=∠CED, ∴HDCE. 又∵ AH HD=H，AH平面 AHD，HD平面 AHD. ∴CE⊥平面 AHD，又∵AD平面 AHD. ∴CE⊥AD ，即 AD⊥CE. ……………………6 分 (2)由(1) CE⊥平面 AHD, ∴AP⊥CE, 又∵HDCE . ∴∠APH 就是二面角 A-CE-B 的平面角, 过点 C 作 CG⊥AB，垂足为 G，连接 CG、EG. ∵BE⊥BC,且 BE⊥AH， ∴BE⊥平面 ABC, ∴BE⊥CG, ∴CG⊥平面 ABE, ∴∠CEG 就是 CE 与平面 ABE 所成的角， 即∠CEG=45°， 又∵CE= 6 , ∴CG=EG= 3 . 又∵BC=2, ∴∠ABC=60°, ∴AB=BC=AC=2. ∴AH= 3 . 又∵HD= 3 , A C D EB H P G ∴HP= 2CH HD = 3 3 , ∴tan∠APH= AH HP =3. 故二面角 A-CE-B 的正切值是 3. ……………………12 分 22.（本小题满分 12 分） 解：（1）设圆 C 的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， ………1 分 则有 - - 1 0, 2 4 - 2 0, 10 3 0. D E E F D E F             …………………3 分 解得 6, 4, 4. D E F       ………… …………………5 分 ∴圆 C 的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0. …………6 分 （2）设符合条件的实数 a存在， 由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 (3, 2)C  必在 l 上． 所以 l 的斜率 2PCk   ， 而 1 AB PC k a k    ， 所以 1 2 a  ． …………8 分 把直线 ax-y+1=0 即 y=ax +1．代入圆C的方程， 消去 y，整理得 2 2( 1) 6( 1) 9 0a x a x     ． 由于直线 1 0ax y   交圆C于 ,A B两点， 故 2 236( 1) 36( 1) 0a a      ， 即 2 0a  ，解得 0a  ． 则实数 a的取值范围是 ( ,0) ． …………………10 分[来 由 于 1 ( , 0) 2   ， 故不存在实数 a，使得过点 (2, 0)P 的直线 l 垂直平分弦 AB． ………12 分