2020届高三数学（理）“大题精练”15

2020届高三数学（理）“大题精练”15

‎2020届高三数学（理）“大题精练”15（答案解析）‎ ‎17．已知的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.‎ ‎18．在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角大小的正弦值.‎ 第 16 页 共 16 页 ‎19．设函数为常数 ‎(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎ (2)当时，证明.‎ ‎20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 根据以上数据，绘制了散点图.‎ 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.‎ 第 16 页 共 16 页 参考数据（其中）：‎ ‎183.4‎ ‎0.34‎ ‎0.115‎ ‎1.53‎ ‎360‎ ‎22385.5‎ ‎61.4‎ ‎0.135‎ ‎（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；‎ ‎（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；‎ ‎（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.‎ ‎21．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．‎ 第 16 页 共 16 页 ‎(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；‎ ‎(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．‎ 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；‎ ‎②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围．‎ 第 16 页 共 16 页 ‎23．已知为正数,且,证明:‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”15（答案解析）‎ 第 16 页 共 16 页 ‎17．已知的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.‎ ‎【解】（1）由题 ‎ 又 ‎ ‎（2）记，则，在中，，‎ 在中，，即 即或（舍）.‎ ‎18．在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角大小的正弦值.‎ ‎【解】（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.‎ 第 16 页 共 16 页 ‎∵，‎ ‎∵四边形与四边形均为菱形 ‎∴，∵‎ ‎∵为等边三角形，为中点 ‎∴‎ ‎∵平面平面且平面平面.‎ 平面且 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴‎ ‎∵，分别为，的中点∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎，平面 平面 ‎（Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，‎ 第 16 页 共 16 页 ‎.‎ ‎，.‎ 设平面的一法向量.‎ 由.‎ 令，则.‎ 由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量.‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值.‎ 二面角大小的正弦值为.‎ ‎19．设函数为常数 ‎(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎ (2)当时，证明.‎ ‎【解】（1）由得导函数，其中.‎ 当时，恒成立，‎ 故在上是单调递增函数，符合题意； ‎ 当时，恒成立，‎ 第 16 页 共 16 页 故在上是单调递减函数，符合题意； ‎ 当时，由得，‎ 则存在，使得.‎ 当时，，当时，‎ ‎，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在上是不是单调函数，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是. ‎ ‎（2）由（1）知当时，，‎ 即，故. ‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，所以在上是单调递减函数，‎ 从而，即.‎ ‎20．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 第 16 页 共 16 页 ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 根据以上数据，绘制了散点图.‎ 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.‎ 参考数据（其中）：‎ ‎183.4‎ ‎0.34‎ ‎0.115‎ ‎1.53‎ ‎360‎ ‎22385.5‎ ‎61.4‎ ‎0.135‎ ‎（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；‎ ‎（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；‎ 第 16 页 共 16 页 ‎（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.‎ ‎【解】（1）令，则可转化为，‎ 因为，所以，‎ 则，所以，‎ 所以关于的回归方程为；‎ ‎（2）与的相关系数为：‎ ‎，‎ 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，‎ 当时，（元），‎ 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为元；‎ ‎（3）①当产品单价为元，设订单数为千件：‎ 因为签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2，‎ 第 16 页 共 16 页 所以，‎ 所以企业利润为（千元），‎ ‎②当产品单价为元，设订单数为千件：‎ 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7，‎ 所以，‎ 所以企业利润为（千元），‎ 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择元.‎ ‎21．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．‎ ‎(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；‎ ‎(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．‎ 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；‎ ‎②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.‎ 第 16 页 共 16 页 ‎【解】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以,‎ 所以抛物线的标准方程为,‎ 设椭圆方程为,则且,解得,‎ 所以椭圆的方程为:.‎ ‎(2)①证明:设,过点与抛物线相切的直线为,‎ 由,消去得,‎ 由△=,得,‎ 则.‎ ‎②设 ‎ 由①得,则,‎ 所以直线的方程为,所以,‎ 即,即直线恒过定点,‎ 设点到直线的距离为,‎ 所以,‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,‎ 第 16 页 共 16 页 设,‎ 由,消去得,‎ 时,△恒成立,‎ ‎ ‎ ‎,‎ 由消去得,△恒成立,‎ 则 ‎ ‎.‎ 所以,‎ 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,‎ 此时,,,‎ 所以的最小值为.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 第 16 页 共 16 页 ‎．‎ ‎（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围．‎ ‎【解】（1），平方后得，‎ 又，的普通方程为．‎ ‎，即，‎ 将代入即可得到．‎ ‎（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），‎ 则，其中，‎ 所以．‎ ‎23．已知为正数,且,证明:‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎【解】(1)将a+b+c＝2平方得:，‎ 由基本不等式知:，‎ 三式相加得:，‎ 第 16 页 共 16 页 则 所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立 ‎(2)由，同理 则，‎ 即当且仅当时等号成立 第 16 页 共 16 页