2017-2018学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高二下学期期末联考数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 湖北省天门市、仙桃市、潜江市2017-2018学年高二下学期期末联考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设复数，则复数的共轭复数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 所以复数的共轭复数是,‎ 选B.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2．已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.‎ 详解：因为，所以 ‎，所以,‎ 选C.‎ 点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.‎ ‎3．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：‎ 每年体检 每年未体检 合计 老年人 ‎7‎ 年轻人 ‎6‎ 合计 ‎50‎ 已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假. ‎ 详解：因为，‎ 所以 选D.‎ 点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.‎ ‎4．已知双曲线的两个焦点分别为，过右焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合双曲线的结合性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由双曲线的对称性可知：，‎ 则为等腰直角三角形，故，‎ 由双曲线的通径公式可得：，‎ 据此可知：，即，‎ 整理可得：，结合解方程可得双曲线的离心率为：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎5．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.‎ 详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而 甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为，因此，所求概率为 ，‎ 选A.‎ 点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.‎ ‎6．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记表示该自由职业者平均每天工作的小时数，‎ 表示平均每天工作个小时的月收入.‎ ‎（小时）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（千元）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ 假设与具有线性相关关系，则关于的线性回归方程必经过点( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以线性回归方程必经过点,‎ 选C.‎ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.‎ ‎7．已知的二项展开式中含项的系数为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.‎ 详解：因为的二项展开式中，‎ 所以,‎ 因此 选C.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎8．已知一列数按如下规律排列：,则第9个数是( )‎ A. -50 B. 50 C. 42 D. —42‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.‎ 详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是，‎ 选A.‎ 点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎9．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.‎ 详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2和，所以棱柱表面积为，‎ 选D.‎ 点睛：空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎10．从中不放回地依次取2个数，事件 “第一次取到的数可以被3整除”, “第二次取到的数可以被3整除”，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求，，再根据得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以,‎ 选C.‎ 点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.‎ ‎11．中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )‎ A. 480 B. 240 C. 180 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据条件确定有且仅有一本书是两人阅读，再根据先选后排求排列数.‎ 详解：先从5位年轻人中选2人，再进行全排列，所以不同的阅读方案的总数是 选B.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎12．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:‎ ‎①小红没有踢足球，也没有打篮球；‎ ‎②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；‎ ‎③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球；‎ ‎④小强没有踢足球,也没有打篮球.‎ 已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( )‎ A. 踢足球 B. 打篮球 C. 打羽毛球 D. 打乒乓球 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.‎ 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；‎ 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题的否定是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：特称命题的否定是全称命题，即的否定为.‎ 详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是.‎ 点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.‎ ‎14．若满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】分析：首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点A坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎15．已知随机变量服从正态分布，若，，则．‎ ‎【答案】0.8‎ ‎【解析】分析：先根据正态分布曲线对称性求，再根据求结果.‎ 详解：因为正态分布曲线关于对称，所以,‎ 因此 点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎16．已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得的值.‎ 详解：设切点，因为，‎ 所以 所以当时封闭区域的面积为 因此，当时，同理可得，即 点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．若，‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)求证：；‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅱ)由不等式的性质可证得.则.‎ ‎(Ⅲ)利用放缩法可给出结论：,或．‎ 详解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以 ‎(Ⅱ)因为,所以．又因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．‎ 所以.（i) ‎ 因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．‎ 所以(ii) ‎ 所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得.‎ ‎(Ⅲ)因为，，‎ 所以,或．(只要写出其中一个即可)‎ 点睛：本题主要考查不等式的性质，放缩法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．如图，底面，四边形是正方形，.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得平面，平面.，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果.‎ 详解： (Ⅰ)因为，平面，平面，‎ 所以平面.‎ 同理可得，平面.‎ 又,‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）（向量法）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 由已知得，点，,,.‎ 所以，.‎ 易证平面，‎ 则平面的一个法向量为.‎ 设直线与平面所成角为，则。‎ 则.‎ 即直线与平面所成角的余弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎19．某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：‎ 年龄（岁）‎ 数量 ‎6‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎(Ⅰ)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；‎ ‎(Ⅱ)若在本次抽出的学生中随机挑选2人，记年龄在间的学生人数为，求 的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）估计这批学生的平均年龄为岁；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，(2)先判断随机变量服从“超几何分布”，再根据“超几何分布”分布列公式以及数学期望公式求结果.‎ 详解：(Ⅰ)由表中的数据可以估算这批学生的平均年龄为.‎ 所以估计这批学生的平均年龄为（岁）.‎ ‎(Ⅱ)由表中数据知，“本次抽出的学生中”挑选2人，服从“超几何分布”，‎ 则,,.‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故的数学期望为.‎ 点睛：对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，超几何分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎20．已知抛物线与椭圆有共同的焦点，过点的直线与抛物线交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)若，求直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 抛物线的方程为;(Ⅱ)直线的方程为或.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为,则,抛物线的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为 ． 联立直线方程与抛物线方程可得, 结合韦达定理可得则,解得．直线的方程为或．‎ 详解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点坐标为,‎ 而抛物线与椭圆有共同的焦点，‎ 所以,解得，‎ 所以抛物线的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为 ． ‎ 联立,整理得, ‎ 由题意, ,所以或． ‎ 则. ‎ 则, ‎ ‎.‎ 则 ‎ ‎ 又已知,所以,解得．‎ 所以直线的方程为或． ‎ 化简得直线的方程为或．‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数在处取得极值，求的值；‎ ‎(Ⅱ)设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的最大整数值为2.‎ ‎【解析】分析：(1)先求导数，再根据根据极值定义得 0，解得的值,最后列表验证.(2)先转化为恒成立，再利用结论（需证明），得，可得当时，恒成立；最后举反例说明当时，，即不恒成立.‎ 详解：(Ⅰ)，‎ 若函数在处取得极值，‎ 则，‎ 解得.‎ 经检验，当时，函数在处取得极值.‎ 综上，.‎ ‎(Ⅱ)由题意知，，‎ ‎.‎ 若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.‎ 先证明.‎ 设，则.‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，即.‎ 同理，可证，所以，所以.‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，‎ 即不恒成立.‎ 综上所述，的最大整数值为2.‎ 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若曲线上的点到直线的最大距离为6，求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)直线的普通方程为.曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)消去参数m可得直线的普通方程为.极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎(Ⅱ)由题意结合直线与圆的位置关系整理计算可得．‎ 详解：(Ⅰ)由得，消去 ,得，‎ 所以直线的普通方程为.‎ 由,得, ‎ 代入,得, ‎ 所以曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎(Ⅱ)曲线:的圆心为,半径为, ‎ 圆心到直线 的距离为, ‎ 若曲线上的点到直线的最大距离为6, ‎ 则,即,解得 ．‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法：‎ ‎（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式的解集是，求实数的值；‎ ‎(Ⅱ)若对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 实数的取值范围是.‎ ‎【解析】分析：(1)先根据不等式解集与对应方程根的关系得,再解得. (2)先根据绝对值三角不等式得最大值为，再解不等式得实数的取值范围.‎ 详解：(Ⅰ)由,可得,‎ 得,解得. ‎ 因为不等式的解集是 ,‎ 所以,解得.‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎，‎ 若对一切恒成立,则． ‎ 解得,即．故实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎