上海市交通大学附属中学2020届高三上学期9月月考数学试题

上海市交通大学附属中学2020届高三上学期9月月考数学试题

交大附中高三月考数学试卷 一、填空题 ‎1.设集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】对于集合，依题意可知，即.对于集合，由，解得，即.所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.复数（为虚数单位），则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.‎ ‎3.若，则“”是 “”的_____条件 ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案.‎ ‎【详解】当时，由基本不等式，可得，‎ 当时，有，解得，充分性是成立的；‎ 例如：当时，满足，但此时，必要性不成立，‎ 综上所述，“”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，则的值是______.‎ ‎【答案】2或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的正切公式进行化简，由此解得的值.‎ ‎【详解】依题意，，，，解得的值为2或.‎ 故答案为2或 ‎【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.若实数、满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎6.在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是______个.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式，求得系数为有理数的项的系数，由此确定系数为有理数的项的个数.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项公式为，当时，项的系数为有理数，故系数为有理数的项的个数为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为，次独立重复试验，“阳爻”恰出现次的概率为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题.‎ ‎8.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则三个角、、中最小的角是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出线线角，线面角，二面角，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.‎ ‎【详解】作交于，由于，，所以为正三棱锥，由对称性知.取中点，连接，作平面，交平面于，连接.作平面，交平面于，连接.作，交于，连接，所以.由于，所以.由于平面，所以.由于，平面，所以.‎ ‎.因为，在上，平面于，平面于，所以.所以.所以.由于都是锐角，所以.‎ 由于在上，由对称性，而，则，由于也是锐角，所以.‎ 综上所述，三个角中的最小角是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.‎ ‎9.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.‎ ‎【详解】方法1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，设可得，‎ 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，‎ 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，即 求得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.‎ ‎10.已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得数列与数列通项公式，两者相加，求得数列的通项公式.‎ ‎【详解】依题意，‎ ‎①+②并化简得，而，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，③.‎ ‎①-②并化简得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，④.‎ ‎③+④并化简得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.‎ ‎【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.‎ ‎，‎ 得即故.‎ ‎【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.‎ ‎12.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.‎ ‎【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.‎ ‎ ‎ 当时，函数与的图象有个交点；‎ 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.‎ 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.‎ 二、选择题 ‎13.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．‎ ‎【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．‎ 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，‎ 中位数仍为，A正确．‎ ‎②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ‎③‎ 由②易知，C不正确．‎ ‎④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．‎ ‎【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.‎ ‎14.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )‎ A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎15.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.‎ ‎【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为、中点，‎ ‎，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．‎ 解法二:‎ 设，分别为中点，‎ ‎，且，为边长为2的等边三角形，‎ 又 中余弦定理，作于，，‎ 为中点，，，‎ ‎，，又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．‎ ‎16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎【详解】由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.‎ 三、解答题 ‎17.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.‎ ‎（1）证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎（2）求点C到平面C1DE的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用 求得点C到平面的距离，得到结果.‎ ‎【详解】（1）连接，‎ ‎，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且 且 ‎ 四边形为平行四边形 ‎，又平面，平面 平面 ‎（2）在菱形中，中点，所以，‎ 根据题意有，，‎ 因为棱柱为直棱柱，所以有平面，‎ 所以，所以，‎ 设点C到平面的距离为，‎ 根据题意有，则有，‎ 解得，‎ 所以点C到平面的距离为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.‎ ‎18.设函数.‎ ‎（1）已知函数是偶函数，求的值；‎ ‎（2）求函数 的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；‎ ‎(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.‎ ‎【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，‎ 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.‎ ‎(2)由函数的解析式可得：‎ ‎.‎ 据此可得函数的值域为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.我们把定义在上，且满足（其中常数、满足，，）的函数叫做似周期函数.‎ ‎（1）若某个似周期函数满足且图象关于直线对称，求证：函数是偶函数；‎ ‎（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，，的解析式；‎ ‎（3）对于（2）中的函数，若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用似周期函数的性质、图像关于直线对称，结合函数奇偶性的定义，证得，由此证得是偶函数.‎ ‎（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.‎ ‎（3）根据（2）中求得的解析式，画出图像和的图像，确定的大致区间，令，求得对应的值，由此确定的取值范围.‎ ‎【详解】（1）依题意可知，函数的定义域为，关于原点对称.由于图像关于对称，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以 ‎，故函数为偶函数.‎ ‎（2）由于，，所以，得.‎ 当时，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ ‎……‎ 以此类推，当时，.‎ 同理，由于，，所以，得.‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ ‎……‎ 以此类推，当时，.‎ 综上所述，当，时，‎ ‎（3）由（2）画出的图像、函数图像如下图所示.由图可知，从左往右，从开始，与图像有交点.由（2）知，当时， ；令，解得或.结合图像可知，要使对任意，都有，则.故的取值范围是 ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数性质，考查函数奇偶性的证明，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.‎ 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.‎ ‎（i）证明：是直角三角形；‎ ‎（ii）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；‎ ‎（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；‎ ‎（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；‎ ‎（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为 直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解 所以有，代入直线方程中，得 ‎，所以点的坐标为，‎ 直线的斜率为; ,‎ 因为所以，因此是直角三角形；‎ ‎（ii）由（i）可知：，‎ 的坐标为，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.‎ ‎21.数列满足：对一切，有，其中是与无关的常数，称数列上有界（有上界），并称是它的一个上界，对一切，有，其中是与无关的常数，称数列下有界（有下界），并称是它的一个下界.一个数列既有上界又有下界，则称为有界数列，常值数列是一个特殊的有界数列.设，数列满足，，.‎ ‎（1）若数列为常数列，试求实数、满足的等式关系，并求出实数的取值范围；‎ ‎（2）下面四个选项，对一切实数 ‎，恒正确的是.（写出所有正确选项，不需要证明其正确，但需要简单说明一下为什么不选余下几个）‎ A. 当时， B. 当时，‎ C. 当时， D. 当时，‎ ‎（3）若，，且数列是有界数列，求的值及的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）B；（3），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用列方程，根据方程有实数根，求得的取值范围.‎ ‎（2）利用（1）的结论，判断出错误选项，由此得出正确选项.‎ ‎（3）对分成两种情况进行分类讨论，根据的上界和下界，列不等式，由此求得的值和的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由于数列为常数列，所以，故，即，此方程有实数根，故，解得，即实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）可知，当数列为常数列时，实数的取值范围是，此时的值与有关，不一定大于，故ACD三个选项不正确，B选项正确.‎ ‎（3） 依题意，大前提为：，‎ ‎①当为常数列时，由（1）知，所以，，.‎ ‎②当不是常数列时，由于，‎ ‎，故数列是单调递增数列.最小值为，设对一切，有，故（）.‎ i)当时，，所以，即，故，由于成立，故③成立.由④得，即存在实数使上式成立，故，而本题大前提是，所以.此时，所以.所以，即.‎ ii)当时，，故.‎ 若，则，，即，则，，其判别式，故不存在使成立.‎ 所以，此时，，即，故，⑤恒成立.对于⑥，由④的分析可知，，.所以，解得.‎ 综上所述，，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查一元二次方程、一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.‎ ‎ ‎