2020届高三数学（理）“大题精练”10

2020届高三数学（理）“大题精练”10

‎2020届高三数学（理）“大题精练”10‎ ‎17．在中，角所对的边分别为，‎ ‎；‎ ‎（1）证明：为等腰三角形；‎ ‎（2）若为边上的点，，且，，求的值．‎ ‎18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）函数在区间上有零点，求的值；‎ ‎21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：‎ 第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 旅游人数（万人）‎ ‎300‎ ‎283‎ ‎321‎ ‎345‎ ‎372‎ ‎435‎ ‎486‎ ‎527‎ ‎622‎ ‎800‎ 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： ‎ 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；‎ 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．‎ ‎（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．‎ ‎（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．‎ 回归方程 ‎①‎ ‎②‎ ‎30407‎ ‎14607‎ 参考公式、参考数据及说明：‎ ‎①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．‎ ‎②刻画回归效果的相关指数 ．‎ ‎③参考数据：，．‎ ‎5．5‎ ‎449 ‎ ‎6．05‎ ‎83‎ ‎4195 ‎ ‎9．00‎ 表中．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”10（答案解析）‎ ‎17．在中，角所对的边分别为，‎ ‎；‎ ‎（1）证明：为等腰三角形；‎ ‎（2）若为边上的点，，且，，求的值．‎ ‎【解】（1），由正弦定理得：，‎ 由余弦定理得：；‎ 化简得：,所以即， 故为等腰三角形．‎ ‎（2）如图，‎ 由已知得，，‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 又，‎ ‎，‎ 即，‎ 得，由（1）可知，得．‎ 解法二：取的中点，连接．由（1）知， ‎ 由已知得，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 解法三：由已知可得，由（1）知，，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，即，‎ ‎．‎ ‎18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解】（1）设的中点为，连接，‎ 为的中点，所以为的中位线，‎ 则可得，且；‎ 在梯形中，，且，‎ ‎，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面． ‎ 法二：设为的中点，连接，‎ 为的中点，‎ 所以是的中位线，所以，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又在梯形中，，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 平面． ‎ ‎（2）设的中点为，又．‎ 因为平面平面，交线为，平面，‎ 平面，‎ 又由，，‎ ‎．‎ 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．‎ ‎ ‎ 已知点，‎ 设平面的法向量为：．‎ 则有 ，可得平面的一个法向量为，‎ ‎， ‎ 可得：，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【解】(1)由题意可得，，又， ‎ 解得，.‎ 所以，椭圆的方程为 ‎ (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ 设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.‎ 设，，定点.(依题意 则由韦达定理可得，，. ‎ 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. ‎ 所以，，即得. ‎ 又，，‎ 所以，，整理得，.‎ 从而可得，， ‎ 即，‎ 所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）函数在区间上有零点，求的值；‎ ‎（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．‎ ‎【解】（1），所以切线斜率为，‎ 又，切点为，所以切线方程为． ‎ ‎（2）令，得，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以的极小值为，又，‎ 所以在区间上存在一个零点，此时；‎ 因为，，‎ 所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3． ‎ ‎（3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；‎ 当时，不等式可化为， ‎ 令，则，‎ 由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，‎ 此时，即 所以当时，，即，函数单调递增；‎ 当时，，即，函数单调递减．‎ 所以有极大值即最大值，于是．‎ 当时，不等式可化为，‎ 由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得．‎ 综上可知．‎ 又因为，所以正整数的取值集合为．‎ ‎21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：‎ 第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 旅游人数 ‎300‎ ‎283‎ ‎321‎ ‎345‎ ‎372‎ ‎435‎ ‎486‎ ‎527‎ ‎622‎ ‎800‎ ‎（万人）‎ 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： ‎ 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；‎ 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．‎ ‎（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．‎ ‎（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．‎ 回归方程 ‎①‎ ‎②‎ ‎30407‎ ‎14607‎ 参考公式、参考数据及说明：‎ ‎①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．‎ ‎②刻画回归效果的相关指数 ．‎ ‎③参考数据：，．‎ ‎5．5‎ ‎449 ‎ ‎6．05‎ ‎83‎ ‎4195 ‎ ‎9．00‎ 表中．‎ ‎【解】（1）对取对数，得， ‎ 设，，先建立关于的线性回归方程，‎ ‎，‎ 模型②的回归方程为 ‎（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，‎ 即， ‎ 模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好.‎ ‎2021年时，，预测旅游人数为（万人）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.‎ ‎【解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整理得.即，‎ 化为极坐标方程为.‎ ‎（2）设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即.‎ 联立整理得.‎ 则解得.‎ 所以，则.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．‎ ‎【解】（1）当时，，即，‎ 解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，‎ 所以，的解集的解集为． ‎ 解法2：原不等式等价于 或 或， ‎ 解得：或无解或， ‎ 所以，的解集为．‎ ‎（2）．‎ 则 ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值，． ‎ 因为对，恒成立，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以，‎ 解得 （不合题意）．‎ 所以的最小值为1．‎