数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二寒假假期检测（2018-02）

数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二寒假假期检测（2018-02）

牡一中2016级高二上学期假期检测 数学（理科）试题 一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为（ ）‎ A. 2700 B. ‎2400 C. 3600 D. 3000‎ ‎2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列是对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “至少1名男生”与“全是女生”‎ ‎3.游戏《王者荣耀》广为流行．某车间50名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位23人，其余人都是黄金或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.4，则抽得铂金段位的概率是（ ）‎ A. 0.60 B. ‎0.40 C. 0.2 D. 0.14‎ ‎4.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下.若输出的S的值为365，则判断框中可以填( ) ‎ A. i>4? B. i>5? C. i>6? D. i>7?‎ ‎5.下列各式中与相等的是（ ）‎ ‎6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮 的结果.‎ 经随机模拟产生了20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )‎ ‎907 966 191 925 271 932 812 458 569 683‎ ‎431 257 393 027 556 488 730 113 532 989‎ A.0.30‎‎ B.‎0.35 C.0.25 D.0.20‎ ‎7.若的平均数为3，标准差为4，且， ，则新数据的平均数和标准差分别为（ ）‎ A. -9 36 B. -3 ‎12 C. 9 36 D. -3 -12‎ ‎8. 2016年1月，某国宣布成功进行氢弹试验后，A，B，C，D四国领导人及联合国主席纷纷表示谴责，就此，某电视台特别邀请一军事专家对这一事件进行评论，若该军事专家计划从A，B，C，D四国及联合国主席这5个领导人中任选2人的发言态度进行评论，那么，他评论的这2人中至少包括A、B一国领导人的概率为(　　) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“‎1”‎，把阴爻“”当做数字“‎0”‎，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“蒙”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ A. 18 B. ‎17 C. 36 D. 34‎ ‎10.若正整数和除以正整数后的余数相同，则记为，例如 ‎，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”（也被称为中国剩余定理）的某一环节，执行该框图，输入， ， ，则输出的（ ）‎ A. 6 B‎.7 C.12 D. 21‎ ‎11.已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆与x轴的交点为A1，A2，在线段A‎1 A2上任取一点M，过M作A‎1A2的垂线交椭圆的于点P，则使得的点M的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.由1,2,3,4,5,6,7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6,7不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样不重复的数字的个数是（ ）‎ A．768 B. ‎300 C.480 D.338‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.‎ ‎13.用辗转相除法（或更相减损术）求得78和36的最大公约数是 .‎ ‎14.用红、黄、蓝三种颜色去涂图右图中标号为1,2,3……,9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂的颜色都不相同，且标号为“3,5,‎7”‎的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法有 种.（结果用数字作答）‎ ‎15.以下说法正确的是 ；‎ ‎（1）先把高二学年1600名学生编号：从1号到1600号，再从编号为1到40的40名学生随机抽取一名，其编号为m，然后取编号为m+40,m+80，m+120…的学生，这样的抽样方法是分层抽样；‎ ‎（2）回归直线不一定过样本中心点；‎ ‎（3）若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是；‎ ‎（4）利用语句A=B，B=A可以实现交换变量A，B的值；‎ ‎（5）用秦九韶算法计算多项式的值时，在时，的值为504.‎ ‎16.一个6乘6的方格内，有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每车占1格，每行每列只有一辆车，共有 种情况.（结果用数字作答）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.其中第17题满分10分，其余大题满分12分.‎ ‎17.甲乙两人玩掷骰子游戏，规则：甲先掷，向上的点数记为x，乙后掷，向上的点数记为y.‎ ‎(1)在平面直角坐标系xOy中，求：以（x，y）为坐标的点落在直线x-y=2上的概率；‎ ‎(2)规定：若,则甲获胜，若，则乙获胜，其他情况视为平局，试问：游戏公平吗？请说明理由.(注：骰子是质地均匀的正方体玩具，六个面分别标有1点至6点)‎ ‎18.在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学偏差x ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎－5‎ ‎－10‎ ‎－18‎ 物理偏差y ‎6.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎1.5‎ ‎0.5‎ ‎－0.5‎ ‎－2.5‎ ‎－3.5‎ ‎(1)已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.‎ 参考公式： .参考数据： .‎ ‎19.已知关于x的二次函数．设点（a，b）是区域内的随机点，求函数在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．‎ ‎20.某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图所示的茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.‎ ‎（1）完成频率分布直方图；‎ ‎（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为y，并假设，且a取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率 ‎21.如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.‎ ‎22.已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值．‎ ‎2016级高二假期检测 数学（理科）答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 D D D D C A B D D C C A 二、填空题 ‎13.6 14.108 15.(3) 16.14400‎ 三、解答题 ‎17.（1）因为xy都可以取1,2,3,4,5,6，故以（x，y）为坐标的点共有36个.‎ 设事件A表示“点（x，y）落在之间x-y=2上”，‎ 则事件A包含的点共有（6,4），（5,3），（4,2），（3,1）共4个，则事件A发生的概率为 ‎（2）设事件B表示“”，事件C表示“”‎ 则事件B包含的基本事件为（4,6）（5,5）（5,6）（6,4）（6,5）（6,6）共6个数对；‎ 则事件C包含的基本事件为（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（3,1）共6个数对；‎ 由（1）知基本事件一共有36个，所以，，所以游戏是公平的.‎ ‎18.（1）由题意，‎ 计算＝＝，‎ ‎＝＝，‎ 所以＝－＝－×＝，‎ 所以线性回归方程为＝x＋.‎ ‎(2)由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为w－90.5，‎ 又该同学的数学偏差为126－118＝8.‎ 由(1)中回归方程，得w－90.5＝×8＋，解得w＝93.‎ 所以，能够预测这位同学的物理成绩为93分.‎ B A b a ‎19. ‎ 根据题意，为图中三角形OAB区域，求得区域的面积为，因为设事件A表示“在区间[1，＋∞）上是增函数”，因为a>0，则，即 求得，所以，‎ 所以.‎ ‎20. 解：（1）频率分布直方图如图：‎ ‎（2），‎ 即全班同学平均成绩可估计为78分.‎ ‎（3），‎ 故.‎ ‎21.（Ⅰ）取的中点，连结，‎ 由题意可得， 均为正三角形，‎ 所以， ，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以. 因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.‎ 又平面平面，平面平面， 平面，‎ 所以平面.‎ 故可得两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以 ，‎ 由，可得点的坐标为，‎ 所以， ，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，可得，‎ 令，则，‎ 又平面的一个法向量为，‎ 由题意得，‎ 解得或（舍去），‎ 所以当时，二面角的余弦值为.‎ ‎22. （1）因为在椭圆上，所以，‎ 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，，‎ 解得，，所以椭圆的方程为 ‎（2）由（1）可知，设，，，‎ 则当时，，所以，‎ 直线的方程为，即，‎ 由得，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，所以，‎ 由，得，所以，‎ 所以，‎ 当，直线，，，，，‎ 所以当时，．‎