2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 Word版

本溪县高级中学2017～2018学年（下）第二次月考 高二数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知空间向量，，则等于（ ）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎2.函数从1到的平均变化率为，则实数的值为（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎3.已知点和向量，，且与方向相反，则点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5.曲线与直线所围成图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.设，分别是平面，的法向量，下列命题是真命题的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎7.在长方体中，，，，是中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.已知空间三点，，，四边形是平行四边形，则（ ）‎ A． B． C． D．8‎ ‎9.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在直角中，，，，点、分别在、边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面与平面所成二面角的平面角为（其中点为点翻折后对应的点），则四棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则 ．‎ ‎14.已知，，则的最小值为 ．‎ ‎15.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则 ．‎ ‎16.若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的导函数；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎18.如图，直三棱柱中，，，，点是中点，点在上，且.‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.已知函数，且为函数的极值点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若当时，存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于.‎ ‎（1）求直线和平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎21.如图所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且两座城市之间的距离为；城在城的正北方向，且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路，甲有急事要从城赶到城，现甲先从城沿公路步行到点（不包括、两点）处，然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时，在山路上步行速度为每小时，设（单位：弧度），甲从城赶往城所花的时间为（单位：）.‎ ‎（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；‎ ‎（2）当点在公路上何处时，甲从城到达城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若函数在上存在极值，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数有两个零点，求的取值范围.‎ 本溪县高级中学2017～2018学年（下）第二次月考·高二数学（理科）‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: ABBDD 6-10: BACDC 11、12：DB 二、填空题 ‎13. -2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）.‎ ‎（2）由，设切点的坐标为，‎ 则所求切线方程为：，‎ 将点的坐标代入上述方程可得：，‎ 整理为：，解得：或，‎ 将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.‎ ‎18.解：由直三棱柱中，知，，两两互相垂直，‎ 以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，∴，，，，，，‎ 中点.‎ ‎（1），，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，，，‎ 取，则，‎ ‎，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（2），设平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 取，则，，‎ 结合图形可知，二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（1），‎ 由得，解得：.‎ ‎（2）由（1）知，令可得，故当时函数 单调递增；当时函数单调递减.‎ 由，，故有，则.‎ 由存在实数使得不等式成立，可得：，解得：.‎ ‎20.解：（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.‎ 易知是等腰直角三角形，∴.‎ 设，则，，，，.‎ 则，，‎ ‎∵异面直线和所成角等于，‎ ‎∴，即，解得，‎ ‎∵，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由，得，所以可取，‎ ‎∴.‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎（2）假设存在，设，且，则，‎ ‎，设平面的一个法向量为，‎ 则由，得，‎ 取，又有平面的法向量，‎ 由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，‎ 由，得，‎ 解得或（不合题意）.‎ ‎∴存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.‎ ‎21.解：（1）在中，，，‎ 故.‎ 由图知，，故函数的定义域为.‎ ‎（2）令，‎ 则.‎ 令，可得，由可解得.‎ 故函数的增区间为，减区间为，‎ 故当时，函数.‎ 故点所在的位置为处，甲所花最短时间为.‎ ‎22.解：（1）∵，由，，故曲线在点 处的切线方程为：，整理为：，‎ 由切线与圆相切有，解得：.‎ ‎（2）∵为上的增函数，‎ ‎∴，即，解得：.‎ ‎（3）由，当时由函数为增函数，‎ 则函数若存在零点，有且仅有一个，令.‎ ‎①当时，，‎ 令，由有，‎ 故当时函数单调递增，当单调递减，‎ 又由，，，‎ 可知当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，‎ 故，此时函数有且只有一个零点.‎ ‎②当时，由，，故方程在区间上有解.‎ ‎③当时，由，，‎ 故方程在区间上有解，‎ 由上知当时函数有唯一的极小值点，记为，有，可得，‎ 要使得函数有两个零点，至少需要 ‎，可得，‎ 由函数单调递增，且，可得：，由，可得，‎ 由上知当时，，且，‎ 而，‎ 由常用不等式，可知，故，‎ 又，‎ 故，‎ 故此时函数有且仅有两个零点，‎ 由上知的取值范围为.‎ ‎ ‎