辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题

辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三4月模拟考试数学（理）试题

‎ 高三下4月模拟考试 数学（理）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，则复数在复平面上所对应的点位于（ ）‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 ‎2．已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ 　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎3．已知命题：，则；命题：，，则下列判断正确的是（ ）‎ A．是假命题 B．是假命题 C．是假命题 D．是真命题 ‎4．下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知数列中，，，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知双曲线C：（，）的右焦点为，点A、B分别在直线和双曲线C的右支上，若四边形（其中O为坐标原点）为菱形且其面积为，则( )‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎12．已知直线不过坐标原点，且与椭圆相交于不同的两点的面积为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设函数，则的值为__________．‎ ‎14．已知平面向量满足，，，则与的夹角为__________．‎ ‎15．设满足约束条件且的最小值为7，则＝__________．‎ ‎16．在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为__________．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的周长 .‎ ‎18．（12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.‎ ‎19．（12分）已知点到直线的距离比点到点的距离多.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（12分）已知函数. ‎ ‎（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.‎ ‎21．(12分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为. ‎ ‎（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；‎ ‎（2）求证：数列为等比数列；‎ ‎（3）求玩该游戏获胜的概率.‎ ‎(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【极坐标与参数方程】（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到距离的最大值．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 已知，，为一个三角形的三边长.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 高三4月考试数学试题答案（理 ）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． ‎ ‎1-5BBDDA 6-10CDACD 11-12CC 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． -16 14． 15． 16． ‎ ‎16.【解析】等比数列中，，所以， ，令，则，令，解得 ，因为各项均为正数的等比数列，所以，当时，，当时，，‎ 所以在时取得最小值，设，代入化简可得， ‎ 所以 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ ‎，，.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【解析】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得 ‎. …………………6分 ‎（2）∵，所以，，又，且 ，，，的周长为. …………………12分 ‎18．【解析】（1）证明：因为是半圆的直径，所.因为垂直于所在的平面，，‎ 所以，所以平面.因为，且，所以四边形为平行四边形.所以，所以平面，因为平面，所以平面平面. ………6分 ‎（2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，‎ 则即令，则.‎ 设平面的一个法向量为，则即 则，则. ‎ 因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. …………………‎ ‎12分 ‎19．【解析】（1）由题知，点到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，所以其方程为；…………………5分 ‎（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.‎ 此时，设，，则，‎ 由题知直线的斜率存在，设其方程为，与联立得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 故，即存在满足条件的定点. ………………12分 ‎20．【解析】（1）的定义域为，‎ ‎∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立. ‎ 则恒成立. ∴，∵，，∴.‎ 所以，的取值范围是. …………………5分 ‎（2）将表示为关于的函数，由且，得，‎ 设方程，即得两根为，，且. ‎ 则，，∵，,∴,∴,‎ ‎，‎ ‎∵,‎ ‎∴代入得,‎ 令，则，得，，则,‎ ‎, ∴而且上递减，从而,‎ 即, ∴. ………………12分 ‎21．【解析】（1）棋子开始在第0站是必然事件，；‎ 棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，‎ 其概率为；棋子跳到第2站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；‎ 依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：‎ 第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；‎ 第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为. ‎ ‎∴ ………………6分 ‎（2）由（1）知，，，‎ 又，数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（3）由（2）知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴玩该游戏获胜的概率为. ………………12分 ‎(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， ‎ 转换为普通方程为: ，‎ 转换为极坐标方程为: .……………………5分 ‎（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为:  (为参数). ‎ 把直线的参数方程代入 ，‎ 得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)，‎ 故: ， ，‎ 所以 .………………………………10分 ‎23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 ‎ 或 或 ‎ 解得 或 或 ‎ 即不等式 的解集为 .…………………………5分 ‎（2）当 时， ，不等式 可化为 ，‎ 若存在 ，使得 ，则 ，‎ 所以 的取值范围为 ……………………………………10分