数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第八次考试（2018

数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第八次考试（2018

南阳一中2015级高三第八次考试 文数试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设等差数列的前项和为，且，则( )‎ A.8 B.12 C.16 D.20‎ ‎4.抛物线的焦点到准线的距离是( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎5.设集合，函数，在中任取一个元素，则函数一定有意义的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的大致图象是( )‎ ‎ A B C D ‎7.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则( )‎ A.8 B.9 C.10 D.12‎ ‎12.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则的最小值为 .‎ ‎14.在中，能使成立的的取值集合是 .‎ ‎15.给出下列四个命题：‎ ‎①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；‎ ‎②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；‎ ‎③若命题，则；‎ ‎④函数在点处的切线方程为.‎ 其中真命题的序号是 .‎ ‎16.已知为数列的前项和，且，若，，‎ 给定四个命题①；②；③；④.‎ 则上述四个命题中真命题的序号为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设函数.‎ ‎(1)求的对称轴方程；‎ ‎(2)已知中，角的对边分别是，若，，求的最小值.‎ ‎18.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分 ‎)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.‎ ‎(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；‎ ‎(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率.‎ ‎19.如图，在四棱椎中，，平面，平面，，，.‎ ‎(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20.已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.‎ ‎21.已知函数(其中为常数且)在处取得极值.‎ ‎(1)当时，求的极大值点和极小值点；‎ ‎(2)若在上的最大值为1，求的值.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？‎ ‎(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.‎ ‎23.已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设实数满足，证明：.‎ 南阳一中2015级高三第八次考试 文数试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDD 6-10:CABDC 11、12：BA 二、填空题 ‎13.6 14. 15.④ 16.②④ ‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)∵，‎ 由得的对称轴方程为.‎ ‎(2)由，可得.‎ 由，可得.‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 由知，当时取最大值，此时取最小值1.‎ ‎18.解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率.直方图如图.‎ ‎(2)估计该校2000名学生这次考试的平均成绩为：‎ ‎(分).‎ ‎(3)第六组有学生3人，分别记作，第一组有学生2人，分别记作，‎ 则从中任取2人的所有基本事件为，，，，，，，，，共10个.分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：，，，，，，所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率.‎ ‎19.(1)证明：因为平面，平面，所以，又因为，，‎ 所以平面，又因为平面，所以平面平面.‎ ‎(2)结论：在线段上存在一点，且，使平面.‎ 解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 又因为，所以，，所以四边形为平行四边形，则.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎20.解：(1)由题知，即，得①‎ 又由，得②，且，综合解得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)假设以原点为圆心，为半径的圆满足条件.‎ ‎(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则，①‎ 由消去，整理得，设，，‎ 有 ‎，又∵，∴，‎ 即，化简得.②‎ 由①②求得，所求圆的方程为.‎ ‎(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，‎ ‎∴，有，，代入，得，此时仍有.‎ 综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.‎ ‎21.解：(1)因为，所以.‎ 因为函数在处取得极值，‎ ‎，当时，，，‎ ‎，随的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ 所以的极大值点为，极小值点为1.‎ ‎(2)因为.‎ 令得，，因为在处取得极值，所以，‎ ‎(i)当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在区间上的最大值为，令，解得.‎ ‎(ii)当时，，‎ ‎①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，‎ 所以最大值1可能在或处取得，而，‎ 所以，解得；‎ ‎②当时，在区间上单调递增，上单调递增，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾；‎ ‎③当时，在区间上单调递增，在上单调递减，‎ 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，‎ 综上所述，或..‎ ‎22.解：(1)由得，该曲线为椭圆.‎ ‎(2)将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，，，从而，由于，所以.‎ ‎23.解：(1)∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴的最小值为，∴的值为.‎ ‎(2)由(1)知，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎